Soit (1) f^Çr) + f,ix)+ ... +fj.r

une série dont les termes sont des fonctions finies et intégi'ahles de la variable u' dans l'intervalle («(,, a); si cette série est uniformément convergente dans cet intervalle, il en est de mèuie de la série

r f, (x) dx -t- r f, çv) dx + ... + r r,, {x) dx

si l'on représente par ç {x) la somme de la série (i), et par <I> (x) la somme de la série (2), la fonction o {x) est intégrable dans l'intervalle (a,), a), et l'on a, pour toutes les valeurs de x qui appartiennent à cet intervalle,

Désignons en effet par S„ (,r) la somme des n premiers termes de la série (1) et par R„ (.r) le reste correspondant, en sorte (jue l'on ait

Je dis d'aboid que la fonction 9 (,c) est intégrable dans l'intervalle («0, a).

Soit en effet s un nombre positif arbitraire; puisque la .série (1) est uniformément convergente, au nombre s correspond un nombre entier positif j9 tel que l'on ait, pour toutes les valeurs de l'indice 71 supérieures à p et [)our toutes les valeurs de x appartenant à l'intervalle («0, o),

Dans l'intervalle {a^, a), l'oscillation île la fonction 11,, (.r) sera inférieure à 2 s. Ceci posé, soit x une valeur quelconque a})partenant à l'intervalle («„, a) : la fonction S„ (.r) étant, par hypothèse, intégrable dans l'intervalle ((^„, ,c), au nomln'e positifs correspond certainement un mode de dùcoiiq)osilion de rintervalle (o„, .c^ tel ipie la

;5(iG TllKOKU-; DKS l'ONCTlONiJ u'uNE VARIABLE.

tlifl'érence entre les sommes supérieure et inférieure, relatives à cette décomposition et évaluées pour la fonction S„(,r), soit moindre que e; la même dilïérence, évaluée pour la fonction P»,, (./•), sera moindi"e que 2 (a — aje, puisque l'oscillation de cette fonction est moindre ({ue 2£ et (jiie l'intervalle {a^, x) a une élcnduc au [ilus éi^'ale à (r/ — a^); la même dillerence enfin, évaluée pdur la funciion S„ (,/•) + R,, (x'), ou ç) (o"), sera moindre (|ue

comme e est arbitraire et que le fadeur (jui le niulliplie est conslaid, ce pi'oduit peut èiro supposé plus peiil quti lel ii(ind)re positif arbitraire que l'on voudra; il est donc démontré que la fonction 9 (.r) est intégrable dans l'intervalle (a„, a); il en est de même de la fonctinn

et l'on a, pourvu que ./; ap|)artieiine à l'intervalle (a„, «), (3) / ■' 9 (.rj cLv = j ' S„ (>•) </.• + r R,. (..) cIjc.

J>'o J an J ai,

La- seconde intégrale du second membre est, en valeur absolue, moindre que t{a — a^; on voit donc que, sous les seules conditions

on peut affirmer que la différence entre / ç (x) dx et

rSJx)dx=f^f,(x)dx-i- f" f,(.^dx-^...-^ f fj.^dx,

«y«o «/"o «yoo i/"u

est moindre cpie s ((^/ — ((q); cette dernière quantité pouvant représenler tel nombre positif que l'on vomira, il est jirouvé que la série (2) est uniforméinenl convergente dans l'intervalle (a^, a) et que sa

somme tl> (x) est égale à / o (x) dx (i). t/ «0

(1) Si l'on suppos lit in série (1) uniformément convergenlc non pns au sens ilu parap;raplie88, m.-)isau sens de la noie ajouléeà ce paragraphe, c'est a dire si l'un supposait seulemeut iju'â eliaijuo uomljre posilii ^ corresjmiuiîl un entier positif « tel que l'on eût,

CllAP. Vil. — SUi; QUELQUES DÉVELUPPEMENTS EN SÉHIE. 307

Soit, par exemple, la séiùe

<f (x) = î/y + WjX^ + t(,;/;^ + ... + if„a:" + ...,

où u„, ttj, ..., u„, ... sont des constantes; je suppose qu'elle soit convergente (al)solument ou non) pour x=za; elle sera uniformément convergente dans' l'intervalle (0, a), ou (o, 0), et- l'on aura, en désignant par X un nombre quelconque appartenant à cet intervalle,

{X) dx .-= U,X -4- U, '^ + H, -^ -h ... 4- H„ -^-^—

C'est la proposition qui a été démontrée en partie dans le paragraphe précédent.

Considérons encore la série

elle est uniformément convergente pour les valeurs de x qui appartiennent à l'intervalle ( — a, a), en désignant par a un nombre positif plus petit que ■::. Lu somme de cette série est d'ailleurs (§ 99) égale

à ; cette égalité subsiste même pour x = Ô, si l'on consul X x

vient de regarder la fonction comme prenant, pourx=:0,

sin XX ^ ' ^ '

sa vraie valeur, à savoir zéro; on aura donc

Jo \sin .X x/ ^^Jo X- — n---

pourvu que x appartienne à l'intervalle (— a, a) : cette égalité équi-

cu conservauL les mêmes iioUilioiis,

le raisonnement suivi clans le texte prouverait que la fonction f {x) csl iulégrahle dans l'intervalle («0, a) et qu'en prenant « ternies dans la série (2), on a une valeur approchée de I f (a;) dx, avec une erreur moindre que £ (a — ao); cette erreur peut être supposée aussi petite qu'on le veut; mais on ne peut conclure de là ni la convergence de la série (2), ni son égalité à la (pianlité I ? (x) dx : on pourrait en effet s'éloigner de cette dernière quantité eu prenant dans la série (2) plus de n termes.

'MS TIIKOIUE DES FONCTIONS d'uNE VARIABLE.

vaut à la su i vaille :

potii" .r ^= 0, on doit remplacer par un. Le second membre est

une série uniformément convergente dans l'inlervalle ( — a, a.). On déduit immédiatement de celte égaliié

'^■Ki'-M'

cette égalité, démontrée pour les valeurs de x compi'ises entre — •r et + z, subsiste évidemment pour les valeurs — t: et + z, qui annulent sin x, et pour toutes les valeurs de x à cause de la périodicité des deux membres. On voit ainsi comment se relient des résultats pour l('S(iuels on avait été obligé de donner deux démonsii'ations distinctes (i5 121).

La pr(i})ositiun fondamentale relative à l'intégK'^ion, terme par terme, d'une série entraine la proposition suivante.

Soit

une série convergente dans l'intervalle («, h); soit o (.r) la somme de cette série; supposons que, dans l'intervalle (a, fc), les fonctions /^ (.f), /■j (x), ..., f„{x), ... admettent des dérivées f[ (x), f[ (a^), ..., f'„ (x-), ... continues dans l'intervalle (a, b); si la série

est uniformément convergente dans Tinlervalle (a, h), la fonction o{x) admettra une dérivée dans cet intei'valle et eette dérivée sera la sonniVe o' (x) de la série précédente.

Si en effet on applique à cette série le théorème relatif à l'intégration, on voit que, en désignant par x un nombre appartenant à l'intervalle (a, h), on aura

£ ',' (x) dx =: ^' /; (x) dx 4- £' f: (.r) dx +■■■£ fn (•'•) d^+...\ mais on a en général, })uisque la fonction /' (./•) est continue dans