CHAP. VII. — ST'R QUKLQUES DÉVELOPPEMENTS EX SÉRIE

riiitervalle (a, h),

p/;:(-o = rn(-x9 -/■„(«);

on aura donc

?' {x) dx = f, (x) - u («) + h (^^0 - h («) + -

(>tt(.^ égalité prouve bien que la fonction o (x) a pour dérivée ç;' (x) dans l'intervalle [a, h); la fonction o' (x), en effet, est continue dan.«i cet intervalle, comme somme d'une série uniformément convergente, dont les termes sont des fonctions continues.

Il convient de remarquer qu'une série peut être uniformément convergente, avoir pour termes des fonctions continues, admettant des dérivées continues, sans que la série des dérivées soit convergente; telle est, par exemple, la série dont le n'^"^" terme est

sin [(1.2...91) x]^ 1.2 ... n '

cette série est uniformément convergente dans tout intervalle; ses termes sont des fonctions continues et admettent des dérivées dans tout intervalle, mais la série formée par ces dérivées est divergenle. La somme de la série proposée est une fonction continue dans tout intervalle; on démontre que cette fonction n'admet point de dérivée (i).

172. Le lecteur a pu voii', dans le cours de cet ouvrage, l'importance des développements en série qui procèdent suivant les puissances entières et positives d'une variable; cette importance est peut-être encore plus grande dans la tliéorie des fonctions d'une variable imaginaire; je veux dire quelques mots d'une autre espèce de séries qui ont été, dans ce siècle, l'olijet d'un nombre considérable de travaux importants (-).

(') Voir le mémoire de M. Darboux sur les fouclions disconliuues.

(2) Outre les mémoires de Dirlchlet et de Rierannn, que j'ai eu l'orcasion de oiter ]ilusicurs fois, cl qui doivont, à plusieurs égards, être rci;a,-ilcs ccnimu fondamentaux, il convient de cilcr les rei^licrclies de Poisson [Journal de l'Krole polytechnique, cnh. XIX, p. 404, 1^23, et Mémoires de l'Académie des Sciences, p. 574, 1823) : Ces rciduTt-hes ont un point de départ tout dilléreul el leurs résultais ont été élu.-itié.s par divers auteurs

Tannebv. - r/u'o ù\ -21

370 THÉORIE DES FONCTIONS d'uNE VARIABLE.

Les séries trigonométriques sont des séries de la forme

- «„ + ttj cos X + «2 cos 2.17 4- ... + «„ cos n.r + ... + bj sin a; + ^2 sin 2a; + ... + b„ siii nx + ...,

a; désigne la variable; on supposera dans ce qui suit qu'elle apparlient à l'inlervalle (— z, + ■::); les coefficients a„, a„ a^, ..., a„, ..., foj, ?>2, ..., &„, ... sont des constantes. Si l'on ne tient pas compte du premier

terme - «„, auquel on a donné le coefficient - pour la facilité des

calculs ultérieurs, on peut regarder la série précédente soit comme la somme de deux séries dont l'une,

a^ cos X + «2 cos 2x + ... + o„ cos ?t,t + ...,

procède suivant les cosinus des multiples entiers de la variable, et l'autre,

h^ sin a? -j- b^ sin 2x + ... + h^ sin nx.,

procède suivant les sinus des multiples entiers de la même variable, soit comme une série dont le terme général est a„ cos nx + h„ sin nx.

L'importance de ces séries, qui se sont introduites naturellement dans l'analyse pour la solution de certains problèmes de mécanique et de physique mathématique, a été révélée par cette remarque, due à Fourier, qu'elles paraissent aptes à représenter une fonction quelconque définie dans un intervalle dont l'étendue soit égale à 2 -.

Soit en effet /"(x') une fonction finie (§ 74) dans l'intervalle ( — ::, + t:) et supposons que l'on ait, pour toutes les valeurs de x qui appar-

(Scliwarz : Zin' Intégration der part. Differentialgl. \u = 0, Journal de Crelle, t. LXXIV, p. 228, 187-2; du Bois-Heymond : Détermination de la valeur limite d'v.ne intégrale qvA se présente dans la théorie des séries trigonométriques; 0. Bonnet : Note sur une intégrale qui sert de fondement à une théorie des séries trigonométriques; Bulletin des sciences mathématiques, 2= série, t. III, 1879, l'« partie, p. 3i), p. 48U). M. Saclise a piujlié ea 1879 uue étude historique et critique sur les principaux travaux relatifs aux séries trii^onomc-triques; cette étude, à laquelle je renvoie le lecteur, a été traduite dans le Bulletin des sciences mathématiques, 2" série, t. IV, 1880, i " partie, p. 43. Postérieurement à cette étude, je sii^nalerai le livre de M. Dini, Série di Fourier et altre representazioni analitiche délie funzioni di îcna variabile reale, ?ïie, i88ù; les recherclies de M. du Bois-lteyniun 1 et de iM. Camille Jordan dans les Comptes rendus de 1881, un travail de il. Ax. Harnaclc sur la Théorie de la série de Fourier dans le Bulletin des sciences mathématiques, 2= série, t. VI, 188-2, 1'" partie, p. 242 ; enfin, dans les Sitztmgsherichte der Âltad. der Wiss. zu Berlin de 1883, une communication de M. 0. Holder, relative à un tliéorème dû a iM. Weierstrass, Ueber eine neue hinreichende Bedingtmg filr die Dars'.ellharheit einer Function durch die Foîtrier'sche Jieihe, et uue communication do M. L. Kroaeckcr Ueber das Dlrichlet'sche Intégral, où l'auteur parvient à des conditions d'uue grande géucralitc.

CHAI'. VII. — ^L'R QUELQCKS l>KM:;LUl'l'i:.\U;NTri LN riKP.li:. 371

tieiiueiit à cet intervalle,

(1) f{x) = ^ rtg + «i cos .V +- 6j siu X + «2 CCS 2x + h, .siii 2x

+ ... + a„ cos nx + b„ sin nx + ...

^Iiiltiplion.s les deux membres par cosjîj;, p étant l'un quelconque des nombres 0, 1, 2, 3, ..., et suppo.sons que l'égalité subsiste quajid on intègre le premier membre entre les limites — :: et z, et le second, terme par terme, entre les mêmes limites, en sorte que l'on ait

[ 1 f C^) cos jjx dx T= - cig j cos p.-ïî clx

f + y ( a,, I cos nx cos px dx + h„ / sin n x co^p xdx\

C'est ce qui arriverait certainement si la série qui figure dans le second membre de l'égalité (1) était uniformément convergente dans l'intervalle ( — ::, -). Si maintenant on tient comptç des égalités

1 cos nx cos px dx ^^ - j [cos (n — p) x + cos {n + p) x] dx

sin (n — p) X sin (n -h p) x / -^ s

i sin nx cos px dx ^ - j [sin (n + 2>j *' + sin {n — p) x] dx

__ cos (n + jj) a; cos (?i ~ p) x ^ ^

/l r X sin 2»d7 , ^ ^.

cos- /).:c c/j: = - i (1 + cos 2px) dx=-^ ^-^ {p ^ Oj,

/ sin px cos pxdx= - j sin 2jj.r d.i; = — — cos 2px,

(pli entraînent les suivantes :

j cofi 7ix œs px dx =^ 0 (p ^ *0'

\ / sin nx cos p;^; da: =: 0 {P'^ ^0»

/ cos^ J) a? d a? = -::, (/) > 0),

I sin px cos /)u^ (?x = 0,

372 THÉORIE DES FONCTIONS d'uNE VARIADLE.

on voit de suite que l'égalité (2) revient à celle-ci :

(4) : j f i^) cos 2^x dx=z Uj,

en multipliant de même les deux meinln-es de l'égalité (1) par sin j3.t, et i.ntégrant de la même façon, on trouvera sans peine

(5) -/ ''f{x)sm2ixclx = b^ {p = l,2,3,...);

on n'aura pour cela qu'à s'appuyer sur la seconde des égalités (3) et sur les deux suivantes

I sin 7ix sin j^OC dx = 0 (i^ < î')'

l >^m- px dx=7: (p=zl,2,S, ...).

Sans doute, si l'on ne sait rien sur la nature de la convergence de la série qui figure dans le second membre de l'égalité (1), les calculs (|ui précèdent ne sont en aucune façon légitimes; mais les formules (4) et (5) ont un sens pourvu que la fonction f (x) soit finie et intégrable dans l'intervalle ( — z, t:); il n'est même pas nécessaire que la fonction f (ce) soit finie dans cet intervalle, pourvu que les fonctions f{x) sinpx, f{x) cospcc, qui peuvent elles-mêmes être infinies aux environs d'un nombre fini ou infini de valeurs appartenant à cet intervalle, soient intégrables, quel que soit l'entier j9, entre les limites — t: et -f- z. Dans ces conditions, il est bien naturel de se demander ce qu'est la série trigonométrique dont les coefficients «^„ bj, sont définis par les formules (4) et (5), si cette série est convergente dans l'intervalle ( — t, ■t:), si, dans cet inten-alle, sa somme est égale à f{x). La recherche de conditions très larges, sous lesquelles on peut affirmer qu'il en est ainsi, a été l'objet d'un grand nombre de travaux importants. Je considérerai seulement le cas qui a été étudié par Dirichlet, celui où l'intervalle ( — t:, t.) peut être décomposé en un nombre fini d'intervalles partiels tels que dans chacun d'eux la fonction f(x) soit continue et varie dans le même sens (si elle varie).

Si dans la somme «^ cospx + bj, sinpx de deux termes corres-

niIAP. VII. — SFR QUELQUES ItÉVRUOPl'EM KXTS EX SÉRIE. 'M'A

pondants de la séiic

(S) «0 + ^'i <^'0* ^ + ''i s^'^ '^ + ^i ^^^ 2a; + b., sin 2^ + ... + «„ cos nx -i- ?>„ sin na? 4- ...,

on remplace les coefficients a^„ ^^, par leurs valeiu's déduites des formules (4) et (5), qu'il convieni d'écrire sous lu forme

1 r+'^ ^p= - \ /■(i/)si'ip.'/ c^^.

afin de ne pas confondre la variaiile x qui figure dans les tei'nies de la série (S) avec la variable d'intégration, on trouvera

cip cos 2}X-\- hj, sin px = - I f(y) cos p {y — x) dx;

on aura donc pour la somme So,,^! des 2;/ + i premiers termes de la série (S),

en posant pour abréger

T.^ + i = - + cos (;/ — x) + cos 2 {y — x) -\- ... -h cos n {y — x);

nais eu vertu de l'identité bien conni

sin(2H+l)| ^

=^ — h cos a + (^os 2a -\- ... + cos n«,

sin (2 H 4- 1) ^ — —^

2 sm ^ — - —

37i' THÉORIE DES FONCTIONS d'uNE VAUlAril.E

d'où

sin

(2,1 1-iy^

chj,