X-->-~ ^ , , sin {%n -i- 1) r , f(x — 2z) -^ '— d z sm z

VU

i r'V si» (2 H + l) z

GlIAP. VII, — SUll QUELQUES DÉVELOPPEMENTS EN SÊIUE. 375

Les limites supérieures " ' 7 '" des deux intégrales qui

figurent dans le second membre sont comprises entre zéro et z et peuvent atteindre l'une ou l'autre de ces limites.

Cette foi'niulc montre que le problème posé revient au suivant : lleconnaitre si l'intéurale

sin mz

où a est un nombre positif fixe au plus égal à x, où o (3) est une fonction finie dans l'intervalle (0, a), tend vers une limite lorsque m augmente indéfiniment par des valeurs positives impaires; c'est le problème que je vais traiter, sous certaines conditions imposées à la fonction 0 (-).

Je ferai d'abord deux remarques préliminaires concernant l'intégrale

P sin m z , — : a;

où a, (3 sont des nombres appartenant à l'intervalle (0, ^^ j et où m

désigne, comme je le supposerai désormais dans ce paragraphe, un nombre entier positif impair.

,lo montrerai d'abord que la valeur absolue de cette intégrale quels que soient les nombres a, p, m^ assujettis toutefois aux conditions précédemment énoncées, est toujours inférieure à un nombre fixe, que l'on peut prendre égal à x. Supposons a <: [i. Lorsque z varie de a à [3, la fonction sin z reste positive et croissante. Quant à la fonction sin 'inz^ elle est, en général, tantôt positive, tantôt négative : décomposons l'intervalle (a, ^) en intervalles partiels tels que, dans chacun d'eux, sin mz garde le même signe; si l'on désigne par i et ;

les parlii's entières des quanlités - — ■> •> ces intervalles })artiels

seronl limités par les nombres

l'intégi'ah^ proposée peut être remplacée par la somme de,/ — i -\- \

;)/0 TIIKOIUE DES FONCTIONS D UNE VAIUAHLE.

intégrales (') clans lesquelles le signe I porte toujours sur la même

quantité

sin mz — ; dz.

sm z

et qui se rapportent aux intervalles partiels définis par la suite précédente; dans le premier intervalle, sin mz a le signe de ( — 1)', puis les signes vont en alternant; l'une (luelcunquo des intégrales intermédiaires peut être représentée par

dz,

sni

(rz=i+ l,i + 2, ...,./■ — 1).

Si, dans cette intégrale, on fait la substitution

m ' tn elle devient

\ III m/

cette forme montre tout d'abord que la valeur absolue de cette intégrale diminuerait si l'on remplaçait r par l'un quelconque des nombres r 4- 1, r + 2, ..., / — 1; en effet les limites de l'intégrale

resteraient les mêmes et la quantité f /■ -^ + — ) sera remplacée par

une quantité plus grande et toujours infériem^e à ^; ainsi à partir de

la deuxième intégrale, les signes vont en alternant, et les valeui's absolues vont en diminuant; cette conclusion s'étend même, i)uisquc m (^ — jt:) est inférieur à •::, à la dernière intégrale dont la valeur est

m sm j — -1

\ m nij

(1) Ce raoïlii (le déi-oniposiliuu joue le rôle essentiel dans la tlémunslralion de Diriehk

CHAP. vi[. —SUR Qri:r,Qi-i:s dkvkloim'Emkxts f.n ^\:\\\e. ,>/.

ainsi (§ G9) la soiiiiiie des inlégialcs qui suivent la jueinièi'e est di signe de ( — 1)'"^' et est, eu valeur absolue, inférieure à

m sin (i -f- 1^ H — - - "

quant à la première intéiirale, elle est du signe de ( — 1)' et sa valeui' absolue est égale à

m sni 1 z h — )

quantité qui, puisque la limite inférieure /// (a — i~) est positive et inférieure à z, est elle-même au plus égale au second membre de l'inégalité précédente.

La valeur de ce second membre est donc supérieure à la valeur de l'intégrale proposée; mais on a, pour les valeurs de X^ comprises entre zéro et •::,

m. sin — ^ sin !^, ' m —

régalité n'ayant lieu que pour )n. =. 1 ; en eflef, pour ces valeurs de ':

la dérivée cos — — cos 'C de la fonction m sin — — sin 'Z, est positive ; m ■ m.

cette dernière fonction est donc croissante, et par conséquent positive, dans l'intervalle (0, z). On a donc

> . t Jo sni '^

m sni — m

le seconti, membre de cette inégalité est égal à ::; la proposition annoncée est donc tlémontrée.

L'intégrale

<\\\ lit:

est égale à '\ ainsi qu'il résulte de l'identité, déjà uliliséf din- Ir

•578 ■riIKOlîlH DKS l'ONC.TIU.NS J)'i:.\E VAUIABLE.

l)réseut paragi'a[)he,

sin inz

—. = 1 + 2 cos 2r + 2 cos 4r + ... + 2 cos (m — 1) c.

siii r ■ -^

Cos l'omarques préliMiiiiaires faites, je suivrai, poui' l'élude de rintéL;i'aie

sin mz

une méthode qui ne différera que par des changements de forme de celle qu'a suivie M. 0. Bonnet dans son mémoire sur la théorie

géni'Tale des séries.

Si les uMiiihres lixes h, c satisfont au.v inégalités

et si la fonction g (z), dans l'intervalle (6, c), est positive ou nulle, décroissante ou constante, l'intésfrale

sm niz

tend vers zéro quand m augmente indéfiniment. Dans ces conditions, en effet, la fonction

sin :

est positive (ou nulle), décroissante (ou constante) dans l'intervalle (6, c), on peut donc appliquer le second théorème de la moyenne et écrire, en désignant par ; un nombre appartenant à l'intervalle (b, c),

f''.^.\n,n:dz::=^f\inu^:dz Jb sm z sm bjh

(cos ntb — cos mz) (').

m sin b

(1) Un pourrai (S 160) mettre y (S + OJ au lieu de f (b),

CHAT. VII. — Si:U (JUF.I.OUE.S DKVELUl'l'KMi:.\TS EN SÉillE. 370

Or la \aleur absolue du second membre est moindi-e que

2©(b) m sin h

(juautiti-' qui lend évideinnieiit vers zéro quand m augmente indéilniment.

On va déduire de là la proposition suivante : soient b, c des nombres compris entre zéro et x, tels que le plus petit des nombres î>, c, t: — î), z — c soit au moins égal au nombre positif (et non nul) a; soit ç (c) une fonction qui tant que z appartient à l'intervalle (h, c). ou (c, &), soit, en valeur absolue, au plus égale au nombre positif L; supposons en outre que l'intervalle {h, c) puisse être divisé en un nombre fini p d'intervalles partiels tels que dans chacun d'eux la fonction 9 (z) soit, ou bien décroissante ou constante, ou bien croissante ou constante; cette fonction sera certainement intégra1)le dans l'intervalle (b, c), ou (c, h) et l'on aura

(8) If^iz

sin mz I 6 (p + 1) L sin z * \ m sin a

il résultera de là bien claii'ement que, lorsque m augmente indéfiniment, le premiei- membre lend vers zéro. La proposition est démontrée lorsque l'on a

et que 9 (z) est une fonction positive décroissante ou constante dans l'intervalle [h, c), et l'on a alors

f(^-)^iïr^^^

m sin h

conservons toutes ces hypothèses, sauf celle qui consiste à supposer la fonction 9 (r) positive (ou nulle). La fonction 9 (r) — 9 (c) sera certainement décroissante ou constante, positive ou nulle, on pourra donc lui appliquer l'inégalité précédente, et écrire

lONCTloNS 11 UNE VAP.IADLE.

d'ailleurs la iririne inéiîaiité s'aiiprKjiic à la fonction ç(:)=:l, eu sorte que l'on a

sin m -, I 2

-^ dz < r— r;

sin z m sin b

on déduil de ces doux inéL;alilés la suivante

Sin c I m sin (> | m sm t»

et à fortiori

î'w sin b

cette inégalité aurait encoi-e lieu si la l'onction o (z) était croissante ou constante dans l'intervalle (6, c); il suffit, pour le voir, de l'applicpier à la fonction — o (r), qui serait alors décroissante ou constante; supposons maintenant que l'on ait

et que la fonction o (z) soit, dans l'intervalle {h, c), ou bien décroissante ou constante, ou bien croissante ou constante; en appliquant la précédente inégalité à la fonction <o (r. — z) considérée dans l'intervalle (- — c, i: — h), on aura

'^-^ , , sin ,nz I 6L

sin z I VI sin c

mais le premier memln'e de cette inégalité n'est autre chose que

■ , , sin m z , |

9i-)— : dz U

sin z I

comme on le voit de suite en faisant la substitution z = ~ — ^. En résumé l'inégalité

^ , , sin riiz , | 6L

0{Z)—. dz < r-^

Sin z I n) sm a

est établi'', ])onrvu que les deux nombres l>, r appartiennent tou^ deux ù l'un des intervalles (O, '^'V (^'^ r.y <pie le plus pelit de^

ciiAP. VII. — si:r quelques uéveloppemexts en série. nSl

nombres h, o, :: — b, t. — c soit égal ou supérieur au noinhi'e positif a, que la fonction o (2) soit, en valeur absolue, au plus égale à L quand 2 appartient à l'intervalle (b, c), ou (c, h), et soit enfin, dans cet intervalle ou bien décroissante ou constante, ou bien croissante ou constante.

I>a proposition à démontrer résulte immédiatement de là ; si en effet on suppose maintenant que les nombres & et c sont compris entre zéro et •:: sans qu'aucun d'eux atteigne l'une ou l'autre de ces limites, et que l'on puisse décomposer l'intervalle compris entre ces deux nombres en p intervalles pai'tiels tels que, dans chacun d'eux la fonction 9 (2) varie dans le môme sens, si elle varie, on n'aura qu'à

sulidiviser, s'il y a lieu, celui des intervalles partiels qui contient -on

deux autres admettant - comme limite commune, pour avoir j) ■+- i

intervalles partiels tels que l'inégalité précédente soit applicable à chacun d'eux; en ajoutant membre à membre lesp + 1 inégalités ainsi obtenues, on parviendra à l'inégalité (8).

Jl résulte de ce qui précède que, si h ai un nombre compris entre zéro et t., d'ailleurs ditïérent de ces limiles, on a

/''' sin m : ,

X Jo sin c

lim. , . .. ,

m = x Jo Sin z 2

on a, en effet,

r' sin mz ri sin m z ri sin mz

Jo sin - Jo sin ~ " Jb sin z

dz

la première intégrale qui figure dans le second membre est égale à -%

la seconde est moindre, en valeur absolue, que On peut donc

m sin h '■

écrire, en désignant par 0 un nombre compris entre — 4 et + 1,

sm niz TC . 29

sin z 2 m sin b

Nous sommes maintenant en mesure d'avoir la limite, poui- m infini, de l'expression

sin mz

,itS'-2 TIIKOHIK DES P^ONCTIONS D UNE VARIAÏU.E.

en supposant fuiijouis que l'on ait

que, dans l'inlervalle (0, h) la (bnclion o (z) reste inférieure ou égale, en valeur absolue, à un nombre positif fixe L, et enfin que l'on puisse partager l'intervalle (0, h) en un nombre linip d'inlervalles partie's tels que dans chacun d'eux la fonction ç {z) soit, ou bien décroissante ou constante, ou bien croissante ou constante.

Soit en effet s un nombre positif arbitraire. D'après les conditions imposées à la fonction o (;r), il est clair que cette fonction tend vers une limite lorsque s tend vers zéro par des valeurs positives; désignons cette limite par ç (+ 0); au nond)re e correspondra un nondire positif •/;, tel que, sous les conditions

0 <zx<: r„ on ait

Ceci posé, désignons par [ù un nombre positif moindre que ■/;, h, T. — &, et tel que dans l'intervalle (0, ,3) la fonction g {z) soit ou bien décroissante ou constante, ou bien croissante ou constante.

On aura

c (z) —. dz — / 0 (z) — dz + z (z) -, dz.

• ^ ' sni - Jo ■ sin c Jp ' - ' sm z

La seconde intégrale du second membre peut se représenter par

f, G<> + 1)J- ^ 2/// sin (3

en désignant par 6' un nombre compris entre — 1 et + 1. Quant à la première intégrale du second mend^re, on peut luii^ appliquer le second théorème de la moyenne, et la remplacer par l'expression

^ sin niz , — d:

, r\ sin mz , , /'[

, ^. ["(' sin mz , r n ^x / ^m T^ sin mz ,

où z désigne un nondjre compris entre zéro et iS; en remplaçant dans

CH.VP. VII. — SUIl UUELQUKS DÉVELOPPEMENTS EN' SÉRIE. PiH'l

le sccûiid inernl)i'e de cette dernière égalité la première intégrale par

2 97? sin (i

et, en .se rappelant que la seconde est, en valeur absolue, au jjIus égale à r, on voit qu'on peut écrire finalement

X'' , , sin mz , -::

?('->TiïïT "= = !?•;+ ») + '■-'

■»?, sin [i 2iii; sm [ù

0" étant, comme 0 et 0' , compris entre — 1 et + 1 ; il Qst clair qu'on peut choisir d'abord le nombre s, puis le nombre ru, pour que R,„ soit, en valeur absolue, plus petit que tel nombre que l'on voudra, et que, ainsi, l'intégrale

sni mz

a pour limite ^ ç (+ 0) quand m augmente indéfiniment (i).

Supposons que la fonction 9 (z) dépende d'un paramètre ce et écrivons-la ç {x, z); supposons même que le nombre positif h dépende aussi de ce paramètre; si, pour chaque valeur de ce appartenant à un intervalle {g, /(), la fonction de z, o (ce, ;:), satisfait aux conditions

(1) On a supposé dans ce qui précède m impair; ce cas est le seul dont on aura hcsuiu dans ce qui suit; mais il convient de remarquer que la conclusion à laquelle on vient d'arriver ne suppose en aucune façon cette restriction; elle n'est intervenue dans ce ((ui précède que par l'égalité

mais on établira sans peine que lorsque «î augmente indéflnimeut par des valeurs paires et positives, le premier membre de l'égalité précédente a pour limite f > ce qui saint pour les dérluclions ultérieures.

La méthode qu'on a suivie dans co paragraphe permel, en imposant les mêmes conditions à la fonction f («), d'établir l'égalité

lim. j\ {:) sin wï "^ = ^ ^ (+ Q).

M. Kronecker a donné à l'inlégrale qui ligure dans le premier membre le nom d'iulémrale de Dirichlel.

nSi TFiKop.iF. nr:s fonctions d'une VAP.iAni.F.

précédcmiiieiit délaillces, (.'t ({ireii (Hitre l» et t: — l* ne soient jamais nuls, il esf clair qu'on poui'ra éciiie

, , SU! \t\Z , - ^ ,s , -

Pi„, (as) étant une quantité qui, pour cliaquc valeur de .{' apparlonani à l'intervalle ((/, /i) tend vers zéro quand \a augnienle indélininienl. Il résulte en outre de l'expression de Fi,„ que, si les valeurs de L et ]) qui eorresj>ondent aux diverses valeurs de x restent, tant ({iie .r appai'tient à l'intervalle ((/, /(), inférieures à des nombres lixes, si les valeurs de h et île t — b restent supérieures à un noinbi-c lixe; si, en outre, la fonction o {x^ z) tend uniformément vers sa limite ç {x, -\- 0) quand ;: tend vers zéro par des valeurs positives; en sorte qu'à chaque nombre positif; corresponde un nombre positif'/; tel que l'on ait

sous les conditions

on pourra affirmer que R„, (x) tendra uniformément vers zéro pour les valeurs de x qui appartiennent à l'intervalle (f/, //), c'est à dire qu'à chaque nombre positif s' correspondra un nombre entier posilif m' tel que l'on ait

£'' , X f^bi mz , T. , N i ,

SOUS les conditions

Revenons maintenant à la question i)0sée au début de ce paragraphe et notamment à la formule

' r"^-., « X «in(2n + 1) s ,

\ -^--^i ^^"-^^- sm. ''