CHAP. VII. — SUR QUELQUES DÉVELOPPEMENTS EN SÉIUE

Supposons que la fonction f {x), finie et intégrable dans Tinlervalle ( — K, + -), soit telle que cet intervalle puisse être partagé en un nombre fini d'intervalles partiels tels que, dans chacun d'eux, elle soit, ou bien décroissante ou Constante, ou bien croissante ou constante; il en sera évidemment de même, relativement aux intervalles (O, '^ "^ '^y (0, " ~ '^ j des fonctions de z, f {x — 1z) et

f {x 4- '■Iz), en supposant que le nondire x appartienne à l'intervalle ( — x, -t- -) ; supposons d'abord qu'il ne coïncide avec aucune de ces limites, les propositions précédemment démontrées relativement à l'intégrale

sin 1)1 z

sm z

sont ap))licables, et Ton aura

J''"'^^ , , ^ , sin î7?. 2 , ■:- ,

/'.■«-23) sinir d:;=:-/-(j.-0),

lim. I " /" (x + 2z) -'-"ii^ ^^- ^ ^C^ ^ 0),

m = x,J 0 SIU z i

cette dernière limite ne sera autre cliose que /"(j?), si la fonction f {x) est continue pour la valeur considérée de a?; il résulte aussi de l'analyse précédente que si la fonction f {x) est continue dans l'inteivalle (A, B), en supposant

et salislait en outre aux conditions précédemment imposées, la quantité S,„ tendra uniformément vers sa limite fix) pour toutes les valeurs de a? qui appartiennent à un intervalle quelconque (A', B') contenu dans l'intervalle (A, B), et tel que A' soit supérieur à A et B' inférieur à B.

Supposons maintenant que Ton ait x = — -, la formule (7) donnera

Tan. N'EU V. — Théorie. 25

■380 TIIKOIUK DES FONCTIONS I)'i;NK VAIUAIiLE.

le second membre peut être remplacé par la suhuikmIo deux intégrales dont l'une ait pour limites zéro et ^% l'antre^' cl r; en faisant dans <cette deriiic're la substitution z =^ t. — '^, oii liouvc linalement

Jo sin ,- ./o siu ;

•et par conséquent, en appliquant toujours le même ilii''ni(''iiii',

hm.S,,, ■= — ■■ -^ :

si l'on supposait a? = -, on trouverait la mémo limite.

En résumé :

Si f (x) est une fonction finie dans l'intervalle ( — t:, 4- -t:), si cet intervalle peut être décomposé en un nombre fini d'intervalles partiels tels que dans chacun d'eux la fonction f {x) soit, ou bien décroissante ou constante, ou bien croissante ou constante, la série

- rt„ 4- (a, cos X + \\ sin x) + ... + {a,, ces nx -h 5„ sin nx) + ...

où l'on suppose

1 r+Tr

a-= - j f{x)cofiixdx (i = 0, ], 2, ...),

hj = - ï f{x) sin jx dx {j =1,2, 3, ...),

sera convergente pour toutes les valeurs de x qui appartiennent à l'intervalle ( — ::, + ::); pour une telle valeur, sa sonnne sera égale à

si X n'est égal ni à — t., ni à -f- ::; dans ces deux derniers cas, cette somme est égale à

Si la fonction f{x), que l'on suppose toujours satisfaire aux conditions précédentes, est continue dans l'intervalle (A, B), en supposant