CHAP. VII. — SUR QUELQUES DÉVELOPPEMENTS EX SÉRIE

et si A', B' désignent deux nombres tels que l'on ait

la série sera uniformément convergente dans l'intervalle (A', B') et y représentera fÇv); enfin si la fonction f {x) est continue dans tout l'intervalle ( — r, + ::) et si l'on a

la série sera uniformément convergente dans ce même intervalle et y représentera f{x).

Il est à peine utile de faiie remarquer que la somme d'une série trigonométrique supposée convergente est une fonction périodique de X, en sorte que les valeurs de cette somme se déduisent, quel que soit a?, des valeurs relatives à l'intervalle ( — ::, -f- z).

Les formules qui donnent les coefficients a,, b^ montrent que si f{x) est une fonction impaire, tous les coefficients a sont nuls; au contraire si f{x) est une fonction paire, tous les coefficients h sont nuls.

Le théorème précédent permet de consruire des séries dont les sommes sont des fonctions continues ou discontinues dans l'intervalle ( — T., 4- Tt), fonctions qui peuvent être définies dans des portions de cet intervalle par des lois algébriques différentes ; je me contenterai d'indiquer les résultats suivants.

La série

sin X sin 3x sin 5j? sin (2n -i- l) x

^ + ^r -^ -1- + - + — 2i7qrr- + ■■■■

est convergente quel que soit a?; si a; est compris entre zéro et t., sa

somme est -'; cette somme est au contraire — - si x est compris •4 4

entre zéro et — -; elle est nulle si x est égal à zéro ou <à t..

On a

X sin X sin 2x sin Sx

pour X compris entre — tî et 4- t:; si l'on a a; = ± z, la somme de la série est nulle.

Tannerv. — Théorie.

§ 4G; pase49; ligne 20.

Le nombre r, doit être tel que l'inégalité

I P. -nl^e

ait lieu quel que soit n ; il est toujours possible de le clioisir de façon qu'il en soit ainsi; car il résulte immédiatement de l'hypothèse que les nombres jjj, j?2, ... sont tous inférieurs en valeur absolue à un certain nombre positif A ; il suffira donc de supposer

§6G; page 80; ligne 27.

dont la limite, pour n infini, est égale à un ; Usez : ... est égale à \x-\.

§67; page 84.

Siu- la l'ègle de llaabe et Duhamel (').

(1) Cette règle a été donnée par Raabo, eu 1832, dans le tome X du Zeitschrift f/tr Mathematikwnd Pliysik de Baumgartucr, puis, en 1838, par Duhamel dans le tome IV du Journal de Lioxiville.

390 THÉORIE DES FONCTIONS d'uNE VARIABLE.

J'ai négligé de donner cette règle, qui peut dans la plupart des cas être remplacée parcelle que l'on trouve à la page menlionnée ci-dessus; toutefois, comme les deux théorèmes ne sont pas identiques, que la règle de Raabe donne dans certains cas des indications que ne fournit point la règle de Gauss et que sa démonstration est" très simple, il convient de ne pas la laisser de côté. Voici en quoi consiste cette règle.

Soit

une série à termes positifs, et soit

si, en désignant par p un nombre entier positif et par a un nombre quelconque plus grand que un, on a

pour toutes les valeurs de n supérieures à p, la série est convergente; si, au contraire, pour les mêmes valeurs de n, on a

en désignant par h un nombre plus petit ([ue un, la série est divergente. Enfin si, pour n infini, a„ a pour limite l'unité, il y a doute.

La démonstration repose sur la remarque suivaiite, que le lecteur déduira immédiatement du paragraphe 65 :

Soient les deux séries à termes positifs

(U) U^ + «2 -+■ ... + lin + ■••,

si la série (U) est convergente et si l'on a, pour toutes les valeurs de n qui dépassent un certain nombre positif jj,

r„ ^^ ît„ la série (V) est aussi convergente; en efïet, si l'on suppose que cette

inégalité ait lieu pour toutes les valeurs de n, on aura, quel que soit n.

au contraire, si la série (U) est divergente, et si pour toutes les valeurs de n qui dépassent une certaine limite lixe, on a

la série (V) est divergente.

Prenons maintenant pour la série (U), comme au paragraphe 67, la série

(3„ ayant pour limite r, quand n grandit indéfiniment; dès lors supposons qu'en posant

on ait, pour les valeurs de )i supérieures à 2^-,

on prendra r compris entre a et un; puisque ^j^ a pour limite r, il existera un nombre positif g, supérieur ou égal à jj et tel que l'on ait pour les valeurs de n plus grandes que g,

|S,. <a; on aura donc, pour n >- g,

Vn + X '^,4-l.

392 THÉORIE DES FONCTIONS D'uNE VARIABLE.

d'ailleurs la séi'ie (U) est convergente puisque r est plus grand que un : la série (V) est donc aussi convergente. Quant à la seconde partie de la règle, elle s'établit de la même façon.

Comparons cette règle à celle de la page 84, ou plutôt à la suivante qui est un peu plus large et qui se démontre de la même façon :

Si dans la série à termes positifs

(V) v^-hv,-\- ... + r, + ...,

le rappoi't -^^ peut se mettre sous la foi'me

r étant un nombre fixe et £„ une quantité telle que la série

soit absolument convergente, la série (V) sera convergente si l'on a r >- i, divergente si l'on a r ^ 1. De l'éffalité

on tiie

si la série (E) est absolument convergente, il est impossiljle que le produit I nt,^ \ reste, pour les valeurs de n supérieures à une certaine limite, plus grand qu'un nombre positif .fixe; si ce produit a une limite, cette limite est nulle, et l'on a alors

lim y.,

dans ce cas, sir est différent de un, les (l(^ux règles sont équivalentes. La dernière règle donne des indications sur la divergence ou la

convergence de la série (V), que ne fournirait point la règle de Raabe si l'on a r = 1, ou si le produit n£„ ne tend pas vers une limite:

mais, d'un auli'e côté, si le rapport -^^ se met sous la I'oituo

r étant un nombre fixe autre que un et s„ une quantité telle que le produit nt„ ait pour limite zéro, la règle de Raabe permet toujours de décider de la convergence ou de la divergence de la série; or il peut se faire, dans ce cas, que la série

soit divergente, en sorte que l'autre règle ne serait pas applicable. C'est ce qui arriverait, par exemple, si l'on avait

n log

§ 74; page 103; ligne 2.

inférieure à 2A, lisez : inférieure à A + \ f (a)

125; page 214.

Une ei-reur de notation s'est glissée dans la rédaction de ce paragraphe : la fonction que Gauss désigne par- 11 (x) n'est autre chose que r {x -f- 1); c'est à tort que j'ai employé le symbole II (x) pour désigner l'inverse de la fonction T (x -h i).

§136; page 232.

Sur la formule des accroissements finis.

Cette formule est susceptible d'une généralisation différente de celle qu'on trouve au paragraphe 146.

Soit/'(,r) une fonction qui, dans l'intervalle (a, h), adinelte des dérivées première et seconde, f {.r) et f" (x), finies dans l'intervalle considéré.

Soit X un nombre appartenant à l'intervalle (a, h) et h^, h^ deux nombres tels que x + 7^, x + /i,, x + h^ -\- h^ appartiennent aussi au même intervalle; posons

la fonction de x, f^ {x), admettra une dérivée dans l'intervalle {x, X + h^) ou (x + /i-j, x) et cette dérivée sera

f[(sr) = r {x + h,)-f{x);

ceci posé on a, en désignant par O^ un nombre compris entre zéro et un,

=r /',[/■' {.r + Ô,/l, + h,) - f {x + OJU)].

Or, en vertu de la même formule, la quantité entre crochels peut être remplacée par h^ f" {x -h HJii ■+■ ^Ji^), en désignant par Oj un nombre compris entre zéro et un; on aura donc finalement

On trouvera de même, en supposant que dans l'inteivalle (a, fe), la fonction f{x) admette des dérivées finies jusqu'au ?i '*=■"' ordre /' (x), f" (x), . . . , /""" {x) et que les nombres

X + /lj, X + /«2, ..., X -h /*„,

X + h^ -\- /«a, X 4- /tj -+- /ta, ..., X -h /'«-i + /'„, X 4- /*i -f- /(, 4- ... 4- /'„

appartienaeiil, ainsi que .r, à l'intervalle (a, 6),

f{x + h, + /(, + ... + K) — lf(x + /«i + h, + ... + hn-l) + lf{x + /il + h, + ... + /i„2) — ... ± 2/" (a; 4- /O i^ /'(.x) = //j/i, ... /i.„ p' (a; + 6i/(i + Ôj/t^ + ... + e„^„) :

dans le second membre 0j, 6^, ..., 0„ désignent des nombres compris entre zéro et un; dans le premier inembre chaque sommation s'étend à tous les termes qui se déduisent du terme écrit en remplaçant la suite des indices par les autres combinaisons, du même ordre, des nombres 1, 2, ..., n.

Si la fonction f^"^ {x) est continue pour la valeur considérée de la variable, on voit que le premier membre, divisé par /«-j, /s^, ..., /i„, a pour limite f-"^ (x) quand les quantités /<j, Z^, ..., h„ tendent vers zéro; d'une façon plus précise, si l'on désigne par o {x, h^, /;,, .••, K) ce premier membre, on peut affirmer qu'à chaque nombre positif s correspond un nombre positif -rj tel que l'on ait

I '4'^2 ••• "il

sous les conditions

0 < I /*i 1 < -r;, {i=\,2, ...n). Je dois cette note à M. Darboux.