XX H- 3j:b= (3 — j)a -f- 27B, c'est-à-dire

dou

Ainsi

BK = fBE ou EK. = |EB.

On aurait de même

De plus,

FG^-fFC, DH = ^DA.

.DK=fDA, AK = fDA,

et, de même,

BG = fEB, CH = |FC.

4. Les droites joignant les milieux des côtés opposés d'un quadrilatère [plan ou gauche) se coupent par parties égales en un point qui se troui^e situé au milieu de la droite joignant les milieux des diagonales.

Soit ABCD [fig. 5) un quadrilatère; appelons respectivement E, F, G, H, K, L les milieux des droites AB, BC, CD, DA,

Fig. 5.

AC, BD. Rapportons les quatre points A, B, C, D à une origine commune quelconque, et soient a, b, c, d les vecteurs OA, OB, OC, OD.

Le vecteur du point E sera ( Exercice 2, Remarque I) >

celui du point G, *, par conséquent, celui du milieu de EG

2 2 A-f-B-hC-t-D

sera = -, •

De même le vecteur de F est j celui de H, > et

celui du milieu de FH, -^ •

Enfin, K a pour vecteur > et L, • Donc le vecteur

du milieu de KL est

Ainsi, les milieux de EG, de FH et de KL coïncident en un même point X, ce qui démontre le théorème.

5. SI par un point quelconque D [fig* 6), pris à l'intérieur d'un parallélogramme OBCA, on mène des parallèles EF, GH

aux deux côtés, les trois diagonales OC, EH, GF concourent en un mém^ point,