OG OE
Soient p-— = /w, r— = n. Posons OA z=: a, OB i= b. OA OB
Si nous cherchons Tintersection I de OC et de GF, il nous
suffira d'écrire
OG -+-x.GF = M.OC, c'est-à-dire
Delà
A-f-J:[/ÎB+ (l — 'WJa] =rtt(A-f-B).
nx=zu^ (i — m ) a: -f- /» = /«,
ce qui donne immédiatement
mn
Cette expression étant symétrique en m et n, on trouverait
évidemment la même valeur si Ton cherchait riolersection
de OC et de EH. Donc cette intersection n*est autre que le poin 1 1
déjà trouvé, si bien que les droites OC, G F, EH se rencontrent
en un même point.
, 10 , ,. a mn
Remarque. — Le rapport — est ^al a =
IC ^ w — I (i — m)[i — n] et par conséquent à celui des aires des deux parallélogram mes OCDE, OACB. "1
6. Les milieux des trois diagonales d'un quadrilatère complet sont en ligne droite.
Soit OACBDE [fig. 7) le quadrilatère. Posons OA = a, OB z= B, 0£ = /WA, OD = /îB.
Pour déterminer OC, nous n'avons qu'à écrire
OC = OA -f- .r. AD r= OB + j.BE,
c'est-à-dire
x-\-x[n^ — a) = B -1-j(wA— b),
d'où
I — xzzzmy^ I — Y=znx^ a:= 9 y =
•^ mn — I mn — i
Par conséquent,
OC = — ^ ^ A + -i i B,
mn — I mn — 1
et
0F = —, X [/wf/i — i]k-h nlm — i )b1,
2{mn — I )
ce qui donne
FG = —. — î r [{m — i)a -i- (« — i)b],
GH = l[(/w — i)A-f- (/î — i)B] = (m7î — i)FG Donc les points F, G, H sont en ligne droite.
Polygones fermés. — Vecteurs coplanaires. — Points en ligne droite. — Points coplanaires.
H. D'après la définition même de l'addition des vecteurs, il est évident que la somme des vecteurs représentés par les côtés successifs d'un polygone fermé quelconque (plan ou gauche) est identiquement nulle.
Il suit de là que, si a, b, c sont trois vecteurs de directions différentes et coplanaires (on appelle ainsi ceux qui sont situés dans un même plan, l'origine étant supposée commune), on peut toujours satisfaire à la relation
(i) aA-i- bB -\- cc=:o
par des valeurs algébriques de a, i, c.
En effet, on peut construire un triangle dont les côtés soient respectivement parallèles à a, b, c, et la somme des trois vecteurs représentés par les côtés de ce triangle sera précisément de la forme ak-h bB-hcc.
Il n'y a qu'une seule manière de satisfaire à la relation (i); en effet, si l'on avait en même temps
rélimination de c entre les équation^ (i) et (2) nous donnerait
d'où
c'est-à-dire
abc a tf c
de telle sorte que les valeurs a', i', (/, proportionnelles à a, b, c, ne constituent pas un système nouveau.
11 est évident qu'un vecteur x peut toujours se mettre sous la forme aA-f-is, AetB étant deux vecteurs coplanaires avec x.
12. Si A, B, c, vecteurs de directions différentes, ne sont pas coplanaires, il est impossible de satisfaire à la relation (i) par des valeurs de «, i, c différentes de zéro.
Car «A -f- is -H ce représente évidemment la diagonale d'un parallélépipède construit sur trois droites parallèles à A, B, c, diagonale qui ne peut s'annuler qu'autant que ces droites s'annulent elles-mêmes.
Si donc on obtient une relation de cette forme (i) dans une question quelconque, sachant que les vecteurs A, B, G ne sont pas coplanaires, il s'ensuivra a = o, i = G, c = o.
Si l'on obtient une relation de la même forme, sachant que fl, i, c ne sont pas nuls, il s'ensuivra que les trois vecteurs a, b, c sont coplanaires.
Ces conséquences sont importantes au point de vue des applications.
Remarque. — Etant donné un vecteur quelconque OX = X, on peut toujours le mettre sous la forme aA-f-AB-f-cc, pourvu que A, b, c soient trois vecteurs non coplanaires. Il suffit évidemment pour cela de construire un parallélépipède ayant pour arêtes des droites de mêmes directions que OA = A, OB = b, OG = c, et pour diagonale OX, c'est-à-dire de mener par X trois plans respectivement parallèles à OBG, OCA, OAB.
13. Soient A, b, c trois vecteurs coplanaires, de même origine O, et cherchons la condition pour que leurs extrémités A, B, G soient en ligne droite.
Il faut qu'on ait
AB = X . AC, c'est-à-dire
En assimilant cette dernière relation avec l'équation (i), on voit que dans ce cas on a
Réciproquement, si les équations (i), (3) sont simul tanément satisfaites, les points A, B, G sont en ligne droite.
Car alors on a aussi
«A -h ^A 4- CA =: o
et, par soustraction de (i),
ô(b — a) -^ c[c — a) = o, ce qui prouve que AB, AC ont la même direction.
