AT
c'est-à-dire, en posant II*at = k,
ttBl=4»-*UAK. dzi/ — K.
y ni
Chacun de ces systèmes de valeurs de u et de j^ donne un des systèmes de génératrices rectilignes.
EXERCICES
80. Trouver sur un ellipsoïde un point tel que le plan tangent en ce point détache sur les trois axes des segments égaux à partir du centre.
Prenons les trois directions i^, I2, I3 suivant les axes, et soit /? le segment détaché. L'équation du plan tangent, si x est le point
de coolael, peut s écrite
Elle doit être vérifiée pour Y=:pitf P iit Ph» Donc
pSi^^x = î, ou, en coordonnées cartésiennes.
De même 9
,T^ jTj
/ij -t- fl* -h fl§
81. Trouver la distance du centre de r ellipsoïde à un plan tangent*
X étant le point de contact, le carré de cette distance sera donné par
k*^gi—]\
d'où
/f tfj flj «3
82. Lieu des points de contact des plans tangents faisant un angle donné at^ec l'un des axes.
Soit I3 la direction de l'axe considéré. Alors la quantité 6i3tK<^x =c est constante. De là
6j3<ftx = c(L*x,
équation d*un cône qui peut s'écrire, en coordonnées carte* siennes,
— aaS —
Ce cône a pour axe I39 pour directrice une ellipse de demiaxes ai et a,, et son intersection avec Tellipsolde donne le lieu demandé.
83. Lieu d'un point tel que la distance du centre à son plan polaire soit constante.
Soit T le point considéré ; l'équation de son plan polaire est
La distance du centre à ce plan est € — • L'équation du lieu
cherché est donc
^♦t =r const.
ou
(♦t)*= S(*t*t) =j6it**t = const.
C'est l'équation d'un ellipsoïde concentrique au premier; on peut l'écrire sous forme cartésienne
-4 H r H r — const.
a\ al a*
84. Si par un point pris à l 'intérieur d'un ellipsoïde on mène trois cordes rectangulaires ^ la somme des inverses des produits de leurs segments sera constante.
Soient m le vecteur du point donné, a, b, c des vecteurs unitaires suivant les trois cordes. Nous devons avoir
Le produit des racines de cette équation du second degré en x est
j5a*a L'inverse de ce produit est donc
et la somme des inverses sera
— (0A*A H- 5b* B -h Sc*c).
La quantité entre parenthèses est constante, car soit un autre système orthogonal unitaire a', b', c', et
B'=aiA + jSjB -h 7iC,
c' 1= a,A + j3,B 4- 7jC.
Alors
0a'*a'=: a*SA*A-|-|3*0B*B + 7*ÔC*C,
et Ton a deux valeurs pareilles pour 0b' *b', Sc'*c', ce qui permet de vérifier par addition la propriété annoncée, car «*-h aj -f a| = I, tous les vecteurs considérés étant unitaires.
Corollaire. — La propriété subsiste non seulement lorsque le point M est fixe, mais même lorsque du* m — i reste constant, c'est-à-dire lorsque le point M se meut sur un ellipsoïde semblable au premier.
85. Lieu du sommet d'un trièdre trirectangle dont les trois arêtes sont tangentes à l'ellipsoïde.
Soient z le vecteur du sommet, a un vecteur unitaire suivant la direction d'une des tangentes et z -f- xa le vecteur du point de contact.
On a
et, pour que les deux valeurs de x coïncident, il faut
(Bz4»A)*=::JeiA*A(0Z*Z— l].
On a deux autres équations pareilles en b, c; les ajoutant toutes trois, en tenant compte de ce que a, b, c sont rectangu-
2QJ
luires et des résultats de l'exercice [)récédent, on obtient
(— *z)'=:/(Bz*z — l) OU
ce qui représente un ellipsoïde concentrique à l'ellipsoïde proposé.
86. D*un point donné sur la surface d'un ellipsoïde on mène trois vecteurs rectangulaires jusqu'à la rencontre de la surface. Le plan des trois points de rencontre passe par un point fixe. Lieu de ce point.
Soient x le point donné; a, b, c trois directions unitiiires rectangulaires. Alors
J6ix*x--^i, 5(x h- /a)*(x h- /a] = I,
d'où
... , Sa*x
Les vecteurs des points de rencontre sont donc x — 2 a
et deux autres de forme pareille.
En formant l'équation du plan passant par ces trois points, on s'assure aisément qu'elle est vérifiée par le vecteur
A6A*xH-B6B<ï»x-hc5c*x 2
SA*A-i-ÔB<ï>B-}-Sc$C ' Wj
Delà
et, en substituant dans l'équation 6x$x : i,
