L. -- Qiiatcrnionx. l

C'est l'équation du lieu cherché, ellipsoïde concentrique au proposé.

87. (a), (p), (7) sont trois ellipsoïdes homothédques deux a deux; (a) et (j3) sont concentriques; (y) a son centre sur la surface de ( |3 ) . Les ellipsoïdes [ol] et [y] se couperont suivant une courbe plane dont le plan est parallèle au plan tangent ^ ( P ) mené par le centre de [y].

Écrivons les équations des ellipsoïdes :

( 7 ) JÔ f X — » a) 4» ( X - • A ) ::= C.

On a

Retranchant (7) de (a), il vient

2 6x4» A zr= ù -\- a -- r,

équation d'un plan normal à la direction * a, qui est précisément celle de la normale à (p) en A. Donc, etc.

88. Deux ellipsoïdes semblables et semblahlement placés sont coupés par un ellipsoïde variable, semblable aux deux premiers et semblablement placé ^ de telle sorte que les plans d'intersection soient à angle droit. On demande le lieu du centre de l 'ellipsoïde variable.

Soient

Sx*Xi=:I, 6(x~a)*(x — a) —-- /•

les équations des deux ellipsoïdes donnés,

S(x — z)«l»(x — z) ~z celle de l'ellipsoïde sécant. Par soustraction, nous aurons les

— aaj — deux plans d'intersection :

26x^z =: 0z^z -f- 1 — 3, 2Sx*(z — a) zr: Sz*z — 5a4>a — Z + X'.

Le premier est normal à *z, l'autre à * (z — a). Pour que ces plans soient perpendiculaires entre eux, il faut donc

j6*z*(z — a)=o ou S[z — a)4»'z=zo.

Cette équation représente le lieu du point Z, qui est un ellipsoïde dont l'équation cartésienne serait

__L -1- - • | 1 --] f J. j r — 1 j -nr o

.r'j , .r'g, Xg représentant les coordonnées de A. Remarque. — Toute équation de la forme

représente une surface du second ordre à centre unique, car on peut récrire

S (x 4-~ 1* ( X-f-- ) ^ySA«l»A.