Discuter l'équation

X = /*A + u^B -t- [t -f- tt)^C.

En rapportant X aux trois directions a, b, c, on aura

abc

et .r,^, 3 seront les coordonnées de X, généralement obliques. Alors

•- — /% ^ = u\ -=[t-^uY, a h c

•T r\' - XY

c a b] al)

équation d'un cône du second ordre.

— 2q8 — En faisant t = — u, on a.

vecteur passant par le milieu de AB. On voit de même que le cône touche les plans BOC, COA suivant des droites qui passent par les milieux de BC, CA.

Si Ton coupe par le plan ABC, on obtiendra donc une ellipse inscrite dans le triangle ABC et tangente aux côtes en leurs milieux.

90. Dans une surface à centre du second ordre, on mène un système de trois demi-diamètres conjugués. Trouver l'enveloppe du plan qui passe par leurs extrémités ,

Soient a, b, g les trois demi-diamètres. On a

6a*A = Sb*B= 6c*C r= I, Sa^B nr Sb*C =. Bc*A =0.

Formons l'équation

d'une surface semblable et concentrique à la proposée. On vérifie cette équation en y remplaçant y par

De plus, le plan tangent en D a pour équation

or

Le plan tangent passe donc en A,B,C.

Par conséquent, l'enveloppe demandée du plan ABC n'est autre que la surface homothétique à la proposée dont nous avons écrit l'équation.

— 2^9 — Le point de contact avec Tenveloppe est précisément le point Dy centre de gravité du triangle ABC.