OC , OB OC OA • OA ~ OB
Unités rectangulaires. — Propriétés fondamentales.
29. Prenons [fig» i5) un système de trois axes rectangulaires 0X|, 0X2, 0X3, tels que les rotations de X| en X2, de X2 en X3, de X3 en X| soient positives par rapport aux axes OX3, 0X|, OX2 respectivement.
Soient Ol4 = ii, Ol2=^i2î 013=13 trois vecteurs unitaires dirigés suivant ces axes. Un vecteur quelconque OM = M pourra se représenter par x^ii-h X2H-\- x^i^j si les coordonnées de M sont X|, x^j Xz»
D'après ce que nous avons vu aux n°* 23 et 28, chaque vecteur unitaire, I3 par exemple, représente la biradiale I1OI2 formée par le rapport des deux autres i| et 12»
Donc
l8> -=Ili -
On tire de là
1] — I1I3, I3 — ijii, Il — I3I1.
On a de même
— — — hî "" — — 'n ~ — — »i»
Il ^^^ — I« Ia« I» ^^^ I9 If« la ^^^^ Il l
3Mt »3
Enfin [26, formule (2)] le carré de chacun de ces vecteurs est égal à — i .
Fig. i5.
Nous pouvons réunir dans le Tableau suivant les relations fondamentales auxquelles satisfont les unités rectangulaires :
I1Ï2 — — I31 I2I3 — — II» I3I1 — 'iJ
Iîll=l3»
Ul
Ill3=l2»
Nous vérifions ici que, d'une manière générale, la multiplication d'un vecteur unitaire a par un vecteur unitaire perpendiculaire b a pour effet d'imprimer au vecteur A une rotation d'un angle droit autour de b, et dans le sens positif,
30. Lorsque des facteurs algébriques sont appliqués aux vecteurs, ces facteurs restent soumis aux règles habituelles de l'Algèbre. Par exemple, le produit de 5i| par 3i2 sera i5i|i2= — iSis- Nous sommes conduit à cette règle par l'application même de nos définitions, en regardant toujours les vecteurs comme représentant des biradiales rectangles.
31. Les relations (i), (2), (3) du n^ 29 nous permettent de déterminer les produits d'autant de facteurs qu'on voudra, formés par les unités rectangulaires 14, I2, 13. Par exemple.
Or, on reconnaît qu'on arriverait au même résultat en écrivant
Iî(l3ll)(lll2) OU I2l3(lili)li,
En un mot, on peut remplacer à volonté plusieurs facteurs par leur produit effectué, mais sans altérer l'ordre; en d'autres termes, la multiplication des unités rectangulaires est associative. Nous reconnaîtrons bientôt qu'il en est de même de la multiplication des biradiales en général.
Nous attirerons encore l'attention du lecteur sur les produits remarquables
Ijl2l3=ri2l3li=l3lilj= -4-1, l3ljll= I2lll3= Iil3l2= — 1.
Représentation analytique des biradiales. — Quatemions.
32. Nous représenterons souvent unebiradiale, dans ce qui suivra, par une seule lettre, pour plus de concision dans récriture. Ce sera alors invariablement une majuscule italique, et nous aurons par exemple
^ .^« ÛB B <?=AOB = -=-.
Si nous effectuons la décomposition indiquée au n® 22, nous avons vu que la biradiale se composera
OP {fi g» II) de la partie algébrique — et de la partie rec-
tangulaxre-.
Nous désignerons par BQ om par Q© la première partie et par UQ ou Qi la seconde. Cette seconde partie, comme nous Tavons déjà reconnu plusieurs fois, peut être représentée par un vecteur.
Pour cette raison, on dit que bQ est la partie vectorielle ou symbolique de la biradiale, tandis que ^Q est appelé partie algébrique, réelle ou scalaire.
Nous avons, dans tous les cas.
Le vecteur Q/, si nous introduisons les trois axes rectangulaires de Isifig' i5, peut s'écrire ç'iii H-9'2i2H- 93I3 si nous appelons ^4, ^29 ^s les coordonnées de son extrémité, si bien que la biradiale prend la forme
(2) Q^^Qo-^qih-^qtU-^qzh-
C'est à ce symbole à quatre termes, dont un réel et trois symboliques, que l'on donne le nom de quaterwion.
Un quaternion est donc V expression analytique d'une biradiale.
33. Supposons maintenant que les deux vecteurs b et A du numéro précédent soient de même module, par exemple unitaires l'un et l'autre. Alors le rapport
OP
rvA {.fis* ' ^) ^^^^. ^S^^ ^ cosy si nous appelons y Fangle
OAB, et le module de —j sera siny. Donc, si nous appelons Q un vecteur unitaire perpendiculaire à AOB et tel que la rotation de OA vers OB soit positive par rapport à ce vecteur, nous pourrons écrire
(3) - = cosy -h Q siny.
Telle est l'expression générale d'une biradiale unitaire, expression que nous appellerons quaternion unitaire ou ."verseur.
Reprenant maintenant la biradiale Q quelconque , nous pouvons la regarder comme égale au produit de son
module €Q = ^ par la biradiale unitaire qui aurait
même plan et même angle. Nous désignerons cette biradiale unitaire par la notation UQ. D'après cela, nous pouvons donc écrire encore
(4) Q^-.^Q.UQ.
En posant, comme nous le ferons souvent, €(? = q, nous aurons ainsi, conservant pour le surplus les notations précédentes,
(5) Q = q(cosy H- Qsiny).
Un quaternion est donc égal au produit de son module par son verseur.
Remarque, — En multipliant le vecteur a par le vecteur unitaire q qui lui est perpendiculaire, on le fait tourner d'^n angle droit autour de q, dans le sens positif, sans changer sa longueur.
En multipliant le même vecteur parcosy -I- q siny, on le fait tourner dans le même sens et autour du même axe, non plus d'un angle droit, mais de l'angle y. De là ce nom de verseur donné à l'expression cosy -|- q siny. On voit du reste que ce verseur se réduit à q pour y = 1^''.
34. D'après la définition des biradiales conjuguées (25), nous voyons {fig^ 16) que la conjuguée de AOB
sera AOB', le point B' étant symétrique de B par rapport à OA.
En représentant par Q, comme nous l'avons déjà fait, le quaternion ou la biradiale AOB, la biradiale conjuguée AOB', que nous représenterons par cj Q ou par Q, ne différera évidemment de la p'remière que par le signe de la partie vectorielle, si bien que les relations (i), (2), (3), (4)> (5) des numéros précédents nous donneront
(6) Q=Qo— îiii — Î2I2— Î3I3»
(7) tlQ = coS7 — Qsiny,
(8) tÇ = Sl<?,
(10) tlQ~ — UQ.
Avec cette notation, le théorème du n*» 27 s'exprimera par la relation
cj(/^Q)--cjQ.cjP, ou
