II) PQ=Q,P

Nous nous contentons d'énoncer les propriétés évidentes que voici :

Si deux biradiales sont égales, il en est de même de leurs conjuguées,

La conjuguée d'une somme de biradiales est égale à la somme des conjuguées des éléments qui composent la somme.

Rappelons enfin , comme le montre d'ailleurs la formule (6) en y faisant Oo= o, que le conjugué d'un vecteur est égal à ce vecteur changé de signe»

Propriétés de la multiplication des biradiales.

35. Lorsque, dans le produit AOG des deux biradiales AOB = Pf BOG = Q, nous décomposons le vecteur OC en OD -+- OE d'une manière quelconque, nous avons (21)

BOC = BOD H- BOE = /? -f- 5

AOC = AOD -^ AOE z= AOB . BOD -f- AOB . BOE.

Donc (i) P{R-hS) = PR'hPS,

ce qu'on exprime en disant que la multiplication est distributi\fe par rapport à l'addition en ce qui concerne le multiplicateur»

Il est très facile de reconnaître que cette propriété s^applique à une somme d'autant d'éléments qu'on voudra et non pas à deux seulement.

Si nous appliquons aux deux membres de la relation (i.) le théorème du n" 27 [formule (ii) du numéro précédent], nous avons

cjP( R-{-S) = {~Rm),P = {R-h S)P, cjPR -f- cjPS^zR.P -h S. P.

Ainsi {î{-i-S)P= R.P+SP\ et, comme Ry S, P représentent des quaternions quelconques, nous pouvons écrire

(2) [R-\-S)P=RP-hSP,

c'est-à-dire que la multiplication est distributive par rapport à l'addition en ce qui concerne le multiplicande.

36. D'après ce qui précède, nous pourrons constamment, dans tout produit, remplacer les quaternions par les éléments qui les composent, écrits par exemple sous la forme «0 -h «i ii -t-a2 12 + ^^313. Tout produit se résoudra ainsi en une somme de produits partiels dans lesquels figureront uniquement des quantités réelles et les unités vectorielles rectangulaires i<, I2, I3. Or, nous avons vu (31) que la multiplication de ces unités est associative.

Donc la multiplication des quaternions en général est associative, c'est-à-dire que dans un produit on peut remplacer une suite quelconque de facteurs par leur produit effectué, pourvu qu'on n'altère pas l'ordre des facteurs.

Par exemple,

PQKST = PQR{ST) =zP{QRS) T=P{QR) [ST) nu ... .

Cette propriété est essentielle dans la théorie des quaternions, puisqu'elle établit que la multiplication, dans cette Algèbre spéciale, jouit de toutes les propriétés de la multiplication ordinaire, sauf la commutativité.

Plusieurs démonstrations directes et purement géométriques en ont été données; mais presque toutes sont d'une assez grande complication, tandis que la marche que nous venons de suivre, et qui consiste à passer par la propriété distributive pour établir la propriété associative en général, nous semble aussi naturelle et beaucoup plus simple.

Produits de deux vecteurs.

37. Soient OA = a, OB = b deux vecteurs unitaires ifiS' ^7)' ^ ^^^^ angle; OD = d un vecteur unitaire

Fig. 17.

perpendiculaire à a dans le plan AOB ; OC = c un vecteur unitaire perpendiculaire au plan AOB et tel que-la rotation de OA vers OB soit positive.

• En décomposant b suivant OA et OD, nous avons

B =: COSÔ . A 4- Sin ô . D.

Par conséquent,

AB == COS9 . il* + Sin 6 . AD

ou, d'après les propriétés établies plus haut (26, 29),

AB = — (ces 6 4- sinÔ.c).

Pour deux vecteurs quelconques, nous aurions évidemment

(i) AB— — CA.tB[cosO -4- sinô.c).

Ainsi, le produit de deux vecteurs est un quaternion.

On obtiendrait ce même produit en déterminant les coordonnées ai, ^2, as et &i, ^27 ^3 de A et B par rapport à trois axes fixes rectangulaires et en développant le produit

d'après les règles et conventions établies précédemment. La relation (1) nous donne évidemment

(2) J^AB^r — €a.€b.COS0,

(3) tÏAB^r: — tA.€B.sin6,C.

On volt que j5ab représente au signe près la puissance de l'origine par rapport au cercle de diamètre AB , que CbAB est égal à l'aire du parallélogramme con^ struit sur OA, OB comme côtés, qu'enfin la direction de b AB est perpendiculaire au plan AOB.

En particulier, si deux vecteurs a,b sont rectangulaires, on a

et réciproquement.

38. Pour le produit ba, nous aurions eu évidemment (4) BA=: — ^A.€B(cosd — sind.c),

d'où, par comparaison avec la relation (i) du numéro précédent,

[a] 6ab=:J6ba, [b] 1Jab=: — tÏBA,

AB = CJ (ba) , BA = CJ (aB ).

39. Ces formules très importantes (a), (i),(c),(ei) conduisent à de nombreuses conséquences, parmi lesquelles nous ferons seulement ressortir les formules suivantes :

(5) (a -4-b)*~ a* h- AB-+- BA-hB*=^ A*4- iShB-h B%

(6) (a — b)*^=:: a* — AB — BA -+- B* =r A* — 26aB -+- B*,

A* B^ zr: A . A . B* = AB* A =: AB . BA

= (Sab -f- Uab) (j8ab — ti ab) ^'^^ ' =(j8ab)'-(Iïab)«

= (0AB)*-{-(a:.tiAB)'.

Il est essentiel de remarquer que a^ b^ est très différent de (ab)2 ; quant au facteur b^, nous avons pu le déplacer dans le calcul précédent, parce que ce carré est algébrique.

Quotients de deux vecteurs.

40. Si OB = B, OA = A {Jig. 17) sont deux vecteurs unitaires, nous avons, par la définition même de la bira-

diale AOB = - > et en vertu des considérations des n*** 22

et 23,

(i) - = cosô -t- sinô.c.

L, — Quaternions, 4

Au contraire, on a, dans la même hypothèse,

[i] -=:cos0 — sinô.c.

En supposant que a et b soient des vecteurs quelconques, ces formules deviennent

(3) - = ^— (cosO-+-sin0.c],

^ ' . A «La ^ '

(4) - = ^— (cosô — sinô.c).

^' B tB^ '

41. La définition des biradiales conjuguées et les relations du n° 34 nous donnent

Cl -= — - cosô — smô .c ,

cj - =r gj— ( cosô -h sin 6 . c I .