AB.BC.CD.D£.£A==:<.AT.AU.AV

ce qui (exercice I89 corollaire II] nous donne encore un vecteur diuis le plan tangent «

Expression géométrique de Sàbc.

A9. Soient À =.OA, b = OB, c = OC trois vecteurs de même origine^ a, b^c leurs modules, 6 Tangie COB, (j> Tangle que forme OA avec le plan COB.

Nous avons

ABC= A(dBC + IIbc) == A$1IC -h aUbC.

La première partie du second membre est un vecteur.

Donc, prenant les parties réelles (ou opérant par B,), il

vient

S ABC = B.aUbc.

Or (37) U BC est un vecteur perpendiculaire au plan COB, tel que la rotation de C vers B soit positive, et dont le module est bc sin0. L'angle de OA avec ce vecteur sera complémentaire de <p, et, par conséquent (37), on aura pour la partie réelle du produit

ÔABc = zL abc sin B sin^.

Mais a sin 9 représente la hauteur ( issue du sommet A) du tétraèdre OABC; bcsind représente le double de la base OBC.

Donc èABc représente, avec le signe ±, le volume du parallélépipède construit surOA, OB, OC, ou encore six fois le volume du tétraèdre OABC.

Les signes dépendent de l'angle que forment a et bac. Par suite, en convenant d'affecter d'un signe les volumes

eux-mêmes, il nous sera permis d'écrire, en supprimant

le signe ±,

Sabc=:6vo10ABC.

Il est aisé de reconnaître, diaprés cela, dans quels cas les volumes devront être considérés comme positifs ou négatifs. Il suffira de regarderie triangle ABC en se plaçant du côté opposé au point O, c'est-à-dire en dehors du tétraèdre. Suivant que la rotation dans le sens ABC sera positive ou négative, le volume OABCsera lui-même positif ou négatif; c'est ce qu'on reconnaît immédiatement par une simple inspection de la figure, en se rappelant bien les règles et conventions précédemment établies.

50. Il est à remarquer que le volume OABC peut aussi bien s'écrire |S(OA.AB.BC) queiS(OA.OB.OC).

En effet,

a(b — a)(c — b) rzz ABC — AB* — A*C-h A*B,

et l'on voit que la partie réelle se réduit à 5 abc.

51. Si OA, OB, OC sont dans un même plan, on voit que 6 ABC = Oi réciproquement, lorsque 5abc = o, aucun des vecteurs a, b, c n'étant nul, ces trois vecteurs sont nécessairement coplanaires.

Cela nous fournit donc un moyen très simple d'exprimer la condition pour que trois vecteurs soient situés dans un même plan.

Interprétation de il[t)AB.bBG).

52. On sait (37) que ^ab = d est un vecteur perpendiculaire à A et B ; tiBc = E est de même un vecteur perpendiculaire à B et c; par conséquent, Il de sera un vec-

leur à la fois perpendiculaire à d et e, qui ne pourra avoir une autre direction que b.

Ainsi

Le module de ce vecteur est

4 aireOAB X aireOBC X sin B, en appelant B le dièdre OB.

Relations avec les coordonnées cartésiennes.

53. Soient .ri, Xo, Xa les coordonnées d'un point X rapporté à trois axes rectangulaires. Le vecteur OX=r x pourra alors s'écrire, si Ton se reporte aux notations précédentes, sous la forme

Si nous opérons par0,i|X,les deux derniers termes du second membre disparaîtront et nous aurons

De même.

Donc

X ^T — (ijSljX -f- l20l2X -I- I3SI3X),

quel que soit x.

On a, en particulier,

On pourrait aussi mettre le vecteur x sous la forme

X — .Tj Aj -f~ '"^f Aj -T~ ^^3 A3,

x^ , 0^2, J^3 représentant les coordonnées du point X par rapport à un système d'axes non rectangulaires, et A|, A2, A3 étant des vecteurs unitaires suivant ces axes.

54. Pour le cas des coordonnées rectangulaires, si X = a:i i| -h Xa 12-1-0:313 et y=j"|I| -hj^tii4-j8i3, nous avons, en effectuant le produit et prenant les parties réelles,

car tous les autres termes sont vectoriels et par conséquent disparaissent.

Cette formule est d'un assez fréquent usage.

EXERCICE

21 . Trouver le volume du tétraèdre ayant twis de ses sommets sur les trois axes coordonnés rectangulaires^ en Ai, k^^ As, et le quatrième en un point quelconque X.

Il est facile de voir (49) qu'en général

volXAiAjAjrrr volOAjAaAj

-{-volOAjAjX4- volOAjAiX-hvolOAiAjX,

quel que soit 0, pourvu qu'on tienne compte des signes des volumes.

Remplaçant Aj, a,, A3 par ^i ii, ^2^x1 ^3^3 ^^ ^ P^^'

'Tx T I ^1 JCa I2 ~T" X^ I3

respectivement, il vient volXAiAjA3=:|6[aiflr,a3Tii2i3

-+-(«3^JI8ÏS-+- «2«ll2Ïl+ «1 «3 II l3)(j^l 1,4-^^2 12+^313)]

6 \ a^ a^ a^) Telle est l'expression du volume cherché.

— jO —

EXERaCES PROPOSÉS SUR LE CUAPITRE IL

1 . Sur les cotes d*an triangle ABC, rectangle en A, on construit les carrés extérieurs ABFG» ACHK, fiCED : démontrer que les droites BK, FG se coupent en un point O situé sur la hauteur issue du sommet A.