AO BC

3* Démontrer, dans le même cas que celui des exercices précédents, que gr ( DF* 4- GH' H- KE* ) est égale ci trois fois la somme des carrés des côtés du triangle et qu'il en est ainsi quel (fue soit Tangle A .

4. La somme des carrés des trois côtés d'un triangle est ^alc à trois fois la somme des carrés des droites joignant les sommets au point moyen.

5. Dans tout quadrilatère, plan ou gauche, le produit de deux diagonales et du cosinus de l'angle qu'elles comprennent est égal à la somme ou à la différence des deux produits correspondants pour les couples de côtés opposés.

6. Si âr, by c sont trois arêtes contiguës d*un parallélépii)èdo rectangle, le carré de Taire du triangle formé par leurs extrémités est fl' b^ -+- b^c^-^ c^ /ï* .

7. Si deux couples d*arétes opposées d'un tétraèdre sont séparément à angles droits, il en sera de même pour le troisième couple.

8. Chaque arête d'an tétraèdre est supposée égale à l'arête opposée : démontrer que les droites joignant les milieux des aréles opposées sont perpendiculaires sur ces arêtes.

9. Du sommet O d'un tétraèdre OABG on mène jusqu'à la base une droite qui forme des angles égaux avec les trois faces OâB, OBC» OCâ : démontrer que les aires OAB, OBC, OCA sont proportionnelles à DAB, DBG, DCA.

10. Soient A, A,. . . A;, un polyèdre inscrit dans une sphère, R le centre de cette sphère» O un point quelconque, G le point moyen de Ai, A,, . . . , A„ : démontrer que la puissance du point O par rapport à la sphère circonscrite au polyèdre est égale au double de la puissance de par rapport à la sphère de dia-

mètre GR, moins "expression '

11. ABCD est un tétraèdre, A',B', C',D' les centres de gravité des faces BCD,CDA,. ... La somme des puissances d*un point quelconque par rapport aux sphères ayant pour diamètres AA', BB', ce, DD', et la somme des puissances du même point par rapport aux sphères ayant pour diamètres les six arêtes du tétraèdre, sont entre elles comme ^ est à 3.

12. La somme des puissances d'un point quelconque par rapport aux sphères ayant pour diamètres les quatre côtés d'un quadrilatère gauche est égale à quatre fois la puissance du même point par rapport à la sphère ayant pour diamètre ta droite qui joint les milieux des diagonales.