X := A -i- JCC
Réciproquement, en donnant à x toutes les valeurs réelles possibles, cette équation (i) représentera tous les points de la droite AX. C'est donc l'équation de cette droite.
56. Si la droite est déterminée par deux de ses points A et B (au lieu de l'être par un point et par sa direction), on aura pour équation cette autre forme
= A -h or ( B — A ) =: ( I — X ) A -!- OTB.
57. Si la droite est déterminée par la perpendiculaire OD abaissée deForigine et donnée en grandeur et en direction, Téquation (i) devient
X =: D -f- j:c et, en opérant par 0.d X,
(3) 5DX=:D'r= — (SLd)»,
car Sdc = o (37), puisque c et d sont perpendiculaires.
Remarque. — Il faut évidemment ajouter à Téquation (3) la condition que la figure est située dans un plan déterminé.
58. Soient donnés un point A de la droite et deux droites LU, MM', auxquelles elle doit être perpendiculaire.
Appelons l, m deux vecteurs quelconques suivant LU, MM'; le vecteur Ulm sera perpendiculaire à toutes deux (37), et, par conséquent, Téquation (i) deviendra
(4) X=rAH-.T.l) LM.
ficpiation du plan.
59. Si OD = D est un vecteur représentant la perpendiculaire à un plan abaissée de Torigine, nous avons, en appelant X un point quelconque du plan, 0d(x — d) = o, c'est-à-dire
( I ) S DX nzz D* OU S - :iz: I .
L'équation du plan a donc la même forme que Téquatîon (3) dun'' 57.
Rebuiques. — I. Si l'équation d'un plan est JSdx = k (une conslante), o est un vecteur perpendiculaire au plan.
IL Lorsque le plan passe par Torigine^réquation (i) devient évidemment
Sdx =1 o,
D représentant alors un vecteur fini quelconque de direction perpendiculaire au plan.
IIL En appelant p un vecteur quelconque situé dans le plan ou parallèle au plan, on a
jSdp = o.
60. Supposons le plan donné par trois de ses points A, B, C Alors, X étant un quelconque des points du plan, les trois vecteurs AX, BX, CX sont coplanaires^ et, par suite (51),
En développant le produit, on reconnaît que cette équation peut s'écrire
6x ( AB -4- BC -h CA ) = SaBC
OU encore
[2) Sx(tiAB H- IJbc -h IJca) ^tBabc.
En comparant avec l'équation (i), on voit que
b AB H- l) BC -4- ti CA
est perpendiculaire au plan, et que le vecteur perpendiculaire issu de l'origine est, en grandeur et en direction,
BABc(bAB -4- IJbc -+- tick)-K
On peut encore (14) mettre réquation d'un plan, passant par trois points donnés, sous la forme
(3) X=:rA + «EH- PC,
les indéterminées ty u^ v satisfaisant à la condition
61 . L'équation d'un plan passant par un point donné A et perpendiculaire à une droite donnée d est (59) de la forme
Mais, puisque le plan passe par A, on a
d'où, par soustraction,
6d(x — a) =0 ou
(4) 6dX — ÔDA.
6^. Supposons que le plan passe par un point donné A et soit parallèle à deux droites données b et B|. Joignons AX; les trois vecteurs x — a,b,Bï sont coplanaires. Donc l'équation est
(5) S(x — a)bBi = o ou 6(x — a)Ubbi m o.
On peut encore l'écrire
(6) x = a -4- jtb 4- .rjBi.
63. Soit qu'on demande l'équation d'un plan passant par deux points donnés A, B, et perpendiculaire à un plan donné dont l'équation est 6dx = / .
Les trois vecteurs x — a, a — Betn sont coplanaires»
X étant un point quelconque du plan donné. Donc
S[X — a)(a — BJDnzO OU
(7) Sx(a — b)di=io
est Inéquation cherchée.
Perpendiculaire abaissée d*an point sur nne droite
on sur un plan.
64. Soit qu'on abaisse de Torigine une perpendiculaire sur la droite [55 (i)]; D étant le pied de cette perpendiculaire, nous avons
D=:A-4-a;C et ÔDCrzrO,
Donc, opérant par 6. cx,
d'où
0CA dCA
JT -— — — T- et D =r: A
Quant à la longueur de cette perpendiculaire, nous Taurons en opérant par 5 . d X sur l'équation de la droite , ce qui donnera
D- — 5ad ou — (SLd)' ^SLd.SaWd, d'où
(l) QId::— 0AttD.
65. Pour la perpendiculaire abaissée de l'origine sur un plan, on a toujours, avec l'une quelconque des formes précédentes, la direction de la perpendiculaire, et la longueur sera donnée par la formule (i) ci-dessus, k étant le vecteur d'un point quelconque du plan.
66. Pour résoudre le même problème par rapport à un point quelconque P au lieu de Torigine, il suffira évidemment, dans les résultats, de remplacer le vecteur de chaque point, m par exemple, par m — p. Ainsi la longueur de la perpendiculaire abaissée du point P sur un plan sera
— j6(a— p)IIdz=0(p~.a)11Cd.
Par exemple, l'équation d'un plan étant donnée sous
la forme 6dx = A, le point - appartient à ce plan, et la
distance du point P au même plan sera
OU 5— (Spd — /).
Perpendiculaire commune à deux droites.
