AX

rrrrrt,

(2) Shx=2b.

L'intersection a toujours pour direction tlAB,etil suffit, par conséquent, d'en déterminer un point quelconque. Soit x = iiA4-i'B le vecteur de ce point. Opérant par S.AX, puis par S.b X, nous aurons

de là

bSxB — «B* aSxB — 6 a'

(Sab;» — A*B«' ^Sab)«— A«B«

ou [3», (7)]

Les coefficients u et t^ étant connus^ Téquation de l'intersection sera

(3) X = «A -4-rB -f-.rtt AB.

Remarques. — I. Le vecteur ma-Hvb représente la perpendiculaire abaissée de l'origine sur l'intersection des deux plans.

IL L'équation d'un plan passant par l'origine et perpendiculaire à l'intersection est

6xlJÀBz=rO ou SXAB = G.

in. L'équation d'un plan passant par l'origine et,par l'intersection des deux plans (i) et (2) s'obtiendrait en écrivant

En effet, cette équation est celle d'un plan passant par l'origine, et, si l'on y prend x tel que ^ ax = a, il s'ensuit Sbx= b.

EXERCICES

22. Lieu des milieux des droites se terminant à deux droites données»

Si X = A 4- xBy Xi :== Aj 4- jTiBj sont les équations des deux

droites (55), le milieu y de XX 1 sera donné par ^ -Donc

équation d'un plan [62, (6)] parallèle à b et b^. Le lieu cherché est donc' un plan.

Remarque. — Si Ton- avait b^ || b, l'cquation ne contiendrait plus qu'un coefficient indéterminé, et le lieu cherché serait, aon plus un plan, mais une droite.

23. Lieu des milieux des droites de longueur donnée^ se terminant h deux droites données.

Prenons pour origine le milieu de la perpendiculaire commune, et soient A, Ai les extrémités de cette perpendiculaire.

Alors X = \ 4-'jrB, Xi= — a -i- .rj B| , et Ton a de plus 6 ab = o, 5 AB| r-r: O. Lc vectcur du milieu de XX j est

De là

( I ) 6 AY rrr o,

(2) aÔBY-z — J: -I- JT^ÔBB],

(3) 6BjY = X0BBi — Xj,

en supposant que nous ayons pris pour b, b^ des vecteurs uni> taires.

De plus, €(x — Xi) 1:= (1(2 A -I- .rB — XjBi) = A:, et, en élevant au carré,

Si l'on résout les équations (2), ( 3 ) par rapport «\ x, x, et si Ton porte ces valeurs dans l'équation (4}f on aura une équation du second degré renfermant y. Nous verrons plus loin que les équations de cette forme représentent des surfaces du second ordre.

Le point y étant situé en outre dans le plan que représente l'équation (i), le lieu sera l'intersection d'un plan et d'une surface du second ordre, c'est-à-dire une conique. Par la nature même de l'énoncé, cette conique ne peut s'étendre à l'inGni; c'est, par conséquent, une ellipse.

2b. Lieu d'un point tel que le rapport de ses distances à un ' point fixe et a une droite fixe soit constant.

Soient le point fixe (pris pour origine), OÂ une perpendi> culaire à la droite, b un vecteur unitaire suivant cette droite , X un point du lieu, XQ la distance du point X à la droite. Nous avons

XQ = Q — X=:A-f-JB — Xr=: .r A.

Opérant par 6 . a X, cela nous donne

A* — ÔAX r:::: .r a',

i car j5ab := o. Mais la condition du problème ^^-rr-- = /• est ex-

^ ^XQ

primée par

On a donc

a'x«z=X-*(a« — ÔAX)S

équation d'une surface du second ordre.

Corollaire. — En coupant cette surface par un plan, on a le même lieu géométrique, restreint à ce plan. C'est donc une conique.

25. Un plan mobile détache d*un trièdrc trirectangle un tetraèdre de volume constant. Trouver le lieu du pied de la hauteur de ce tétraèdre y abaissée du sommet du trièdre.

Soient a^ii, oL^i^y «3I3 les vecteurs des points d'intersection du plan mobile avec les trois arêtes. Alors a^a, a3r=X', une constante. Si X est le pied de la hauteur, nous avons

6x(x — «ili) =: o, d'où

x' = «4 0X11, et de même

X* = a^Sxijy X* = «36x13.