L. — Qu(Uer nions. O

Multipliant ces trois équations,

équation du lieu cherché.

En appelant ^i, x^, x^ les coordonnées du point X, on peut encore écrire ( 53 ) sous forme ordinaire

[x\-hx\ '\- x\Y=zkx^x^Xi.

26. Un plan mené par tes milieux de deux arêtes opposées d^un tétraèdre le divise en deux parties équivalentes.

Soient [fig. 21) OABG le tétraèdre, L, M les milieux de OA

Fig. 21.

et de BC; nous avons

( I ) vol (OCLMNP) =. vol (OLNP) -h vol (OPNM) .-f- vol (OMCP) . Posons OA =: A, OB =:: B, OC — c. Alors

Soit ON r= jT =: > B le point où le plan sécant rencontre l'arête OB. Alors l'équation de ce plan sera

avec la condition

X = JCL 4- rM-f- zm-^X h Y h ZAB,

Le poiut P «ippartenant à ce plan et à la droite AG, nous avons

P = C 4- «A — c)=rj7 (-K h 3AB,

d'où

Rësolvanl les équations (3), (4) par rapport à jt, j, z, m, on a, pour «, w == I — >. Ainsi les vecteurs l, n, m, p sont respectivement

-5 ÀB, î AC-h(l— AjA.

Donc

Slnp — : — Sabc, Spnm = -^- -^ Sabc,

0MOP zr: SabC,

et, par addition,

Sl>'p + Spwm 4- Smcp = |-6abc;

ce qui démontre, d'après la formule (1), la propriété énoncée?.

Corollaire. — La relation \-{- u-^i nous donne la propriété ON CP