OB "^CÂ

27. Si Von élèi'e sur chacune des faces d\in tétraèdre, soit exiérieurementy soit intérieurement^ des perpendiculaires proportionnelles aux aires de ces faces, la somme des vecteurs ainsi obtenus est nulle ; autrement dit, ces perpendiculaires, convenablement transportées parallèlement à elles-mêmes, formeront un quadrilatère fermé.

Soit en effet OABG le tétraèdre ; élevons

OA'r=tiBCr=A'. OB' = UcA = b', OC — U AB = c'

et enfin

0D'=U(AC.AB)=U(C — a) B— AJr^D'.

Nous avons

W=\}CB — UCA — tiAB=r — (a'-H b' -+- c').

Donc

a' 4- b' -f- c' -f- D'mo.

Corollaire. — Ce théorème peut être étendu à un polyèdre quelconque, car ce polyèdre est toujours dëcomposable en tétraèdres, et, quant aux faces communes à deux tétraèdres, elles donneront lieu à deux vecteurs égaux et opposés, puisque Ton doit élever toujours les perpendiculaires, soit à l'extérieur, soit à l'intérieur.

On peut donc dire, sous une forme assez concise : La somme vectorielle de toutes les fcices d'un polyèdre est identiquement nulle.

Remarque» — Le tétraèdre A'B'C construit ci-dessus peut être appelé, d'après M. Genty, tétraèdre dérivé du premier.