EXERCICES PROPOSÉS SUR LE CHAPITRE III

1. Trouver le lieu des milieux des droites se terminant à deux droites données et parallèles à un plan donné.

2. Une droite mobile se termine à deux droites fixes. Trouver le lieu du point qui divise cette droite mobile dans un rapport donné.

3. Une droite terminée à deux droites fixes se meut en restant constamment parallèle à un même plan. Trouver le lieu du point qui la divise dans un rapport constant.

4. Équation du lieu d*un point mobile dont les distances à deux droites données sont dans un rapport donné.

5. On donne un point fixe P et deux droites fixes : lieu d'un point X tel que la somme des projections de PX sur les deux droites données soit constante.

6. Si la somme des perpendiculaires abaissées du point A sur deux plans donnés est la même que la somme des perpendiculaires abaissées du point B, cette somme sera constante pour tout point de la droite AB.

7. Si la somme des perpendiculaires sur deux plans donnés, abaissées des points A, B, G (non en ligne droite), est la même, cette somme sera constante pour tout point du plan ABC.

8. On donne un angle solide à quatre faces : par un point donné sur l'une des arêtes, mener un plan tel que la section soit un parallélogramme .

9. Par chaque arête d'un tnèdre, on mène un plan perpendiculaire à la face opposée. Démontrer que ces trois plans se coupent suivant une même droite .

10. OABG est un trièdre trirectangle; OD est la perpendîculaire abaissée du sommet sur le plan ABC. Démontrer que aireAOB est moyenne proportionnelle entre aireACB et aire ADB .

11. Trouver l'équation d'un plan passant par un point donné et formant des angles égaux avec trois directions données. Don> ner la valeur commune de ces angles.

12. Déterminer le point d'intersection des trois plans 5 ax = a, 5bx= 6, 0CX =^c,

13. Déterminer l'aire du triangle ayant ses sommets en trois points donnés.

14. Déterminer la condition pour que trois plans se coupent suivant une même droite.

15. Déterminer la condition pour que quatre plans se coupent en un même point.

16. Exprimer le volume du tétraèdre compris entre quatre plans donnés. (Gehty.)

17. Etant données les arêtes d'un tétraèdre, déterminer les arêtes du tétraèdre dérivé. (Genty.)

18. Connaissant un tétraèdre, déterminer les aires des faces du tétraèdre dérivé. (Genty.)

19. Trouver la relation entre le volume d'un tétraèdre et celui du tétraèdre dérivé. (Genty.)

20. Par un point fixe M, à l'intérieur d'un trièdre de sommet 0, on mène un plan coupant les arêtes en A, B, C. Soient Vi,V„V3 les volumes des trois tétraèdres MOAB, MOBC, MOGA ; V celui du tétraèdre OABC» Démontrer que le rapport

■ est constant, quel que soit le plan sécant.

V'ViV.Vj (Genti'.)

21. Soient donnés un tétraèdre quelconque ABGD et un point intérieur O tel que les droites OA, OB, OC forment un trièdre trirectangle ; on prolonge les droites OA, OB, OC, OD jusqu'aux points A',B',C', D', où elles coupent les faces opposées; on a