C0S2G — COS2A
sinB sin{C — A)
35. Un cercle est coupé par une infinité d'autres dont les circonférences passent par deux points fixes. Démontrer que les cordes communes passent toutes par un même point.
Soient
et
les équations de la circonférence fixe et de la circonférence variable.
Soient en outre A,B [fig. 23) les deux points fixes par les-
Fig. 23.
quels passe la circonférence variable.
L*équation de la corde commune PQ, obtenue par soustraction au moyen des équations (i j, (a) est
2J6cx zzrr* — c* — «P.
Coupons-la par la droite AB. Pour cela, nous remplacerons x
par OTA -t- (i — xJB, d'où
i$c[xk -+■ (i — ^)^] =r* — €*— rf*.
Mais, A et B satisfaisant à Téquation ( 2 ] , on a
20cA = r* — a* — G*, 2 5cB = r* — b' — c",
et, par substitution,
JF
Donc, X étant constant, le point R est fixe. Le rapport
— = = r-^ — j, est égal, comme 1 on voit, a celui des
carrés des tangentes AT, BU menées des points A, B au cercle fixe, si ces points sont extérieurs. Dans tous les cas, l'interprétation géométrique est extrêmement facile.
36. D'un point donné on abaisse des perpendiculaires sur tous les plans tangents à une sphère. Trouver l'équation du lieu des pieds de ces perpendiculaires.
Soient A le point donné, X le pied de la perpendiculaire, P le point de contact du plan tangent. On a
(1) P*rzz-a».
(2) Spx = — a*,
et, AX étant parallèle à p,
(3) X — A = JCF,
Opérant sur ( 3) par jS.x X, on a, en vertu de (2),
(4) X*— 0AX= — /l*X.
lOI
Élevant ( 3 ) au carré,
(5) (X — A)»=-fl»X«,
d'où, par élimination de x entre (4 ) et (5),
Telle est l'équation du lieu cherché.
37. Si trois sphères se coupent deux à deux y les trois plans d'intersection passent par une même droite.
Car, si a, b, g sont les vecteurs des centres, les équations des trois sphères sont de la forme
X* — aSAXr=fl, x' — aSBX = ^, X' — 20CX = c*.
et les équations des plans d'intersection
J6(c — A)xr=« — C.
L'une quelconque de ces trois équations étant une conséquence des deux autres, on voit que les trois plans passent par une même droite. C'est l'axe radical des trois sphères.
3 8. Trouver le lieu géométrique d'un point tel que le rapport de ses distances à deux points donnés soit constant.
Soient A, B les deux points, k le rapport donné. Nous avons
x' — !2Sax -t- a' = ^' (x' — 2J6bx h- b*), (, - /«)x»-. 2J6(a — /«B)x=r a«— X»b*,
ëquadon d'une sphère.
Si Fon place l'origine en b, l'équation prend la forme plus
simple
39. Trouver le lieu géométrique d*un point tel que la somme des carrés de ses distances h plusieurs points donnés ait une valeur donnée.
Soient X le point variable, a^, a,, . . . , a„ les vecteurs des points donnes et/' la somme donnée. Alors
(X — Ai)'-+- (X — A,)*-f-. . .-h (X — A„)'=— /*,
c'est-à-dire
/ix'— 25x2a + 2a*= — /*,
équation d'une sphère ayant pour centre le point moyen des points A. Si Ton transporte l'origine en ce point, on a
La sphère est réelle pour /^> 2a» . Si /* = 2a*, elle se réduit à un point.
Dans le plan, le même problème conduit évidemment à une circonférence au lieu d'une sphère.
