CHAPITRE V

DIFFÉRENTIATION DES QUATERNIONS.

DiiférentieUes de fonctions de quaternions.

77. Lorsqu'on soumet au calcul les quantités complexes ordmaires, on trouve qu'une fonction analytique d'une variable complexe admet en général. une dérivée, c'est-à-dire que, z étant la variable, y(z) la fonction et dz l'accroissement de la variable, l'accroissement de la fonction, réduit à sa partie principale, peut se mettre sous la {orme f^[z)dz.

Il n'en est plus de même, comme nous allons le reconnaître, lorsqu'il s'agit d'une fonction d'un quaternion variable. La variable recevant un accroissement, nous pouvons toujours considérer la partie principale de l'accroissement de la fonction et l'appeler différentielle de la fonction ; mais cette différentielle ne peut se mettre en général sous la forme d'un produit dont l'un des facteurs serait l'accroissement (ou la différentielle) de la variable indépendante.

Si X est un quaternion variable et JT =J^[X) une fonction de ce quaternion, nous définirons donc la différentielle dy par la relation

h étant une quantité réelle infiniment petite.

— io5 — '

Or dl^ aura bien la forme ^{Xy dX), mais non pas, en général, (f{X).dX di dX.(f{X).

78. Pour éclaircîr cette notion de l'absence de dérivée, prenons comme exemple la fonction

Si nous donnons à JST l'accroissement dX, nous avons, pour accroissement de la fonction,

ou, en négligeant le dernier terme, qui est du second ordre,

dr=X.dX-hdX.X,

expression qui ne peut se mettre sous la forme dXmX' sans que X^ dépende à la fois de X et de dX.

Comme second exemple, soit

f(X'^dX)-f[X] =

X+ dX^^