X-\-dX

le

xdx^x'^^x'

et, en négligeant les infiniment petits d'ordres supérieurs au premier,

expression qui ne se réduit pas non plus à la forme X' ,dX ou dX.X\ si ce n'est lorsque X et dX sont coplanaires ou bien lorsque dX est réel.

Cette absence de dérivée d'une fonction de quaternion.

— io6 —

d'une manière générale, tient, comme on le voit, à la noncommutativité de la multiplication par dX. Aussi y a-t-il une dérivée chaque fois que dX est réel.

Si, en particulier, un quaternion 1^ est fonction d'une variable réelle a:, il y aura toujours une dérivée, qui, en général, sera un quaternion.

79. Si la différentielle dX Ae la variable se compose de deux parties dxX-{- d^X, il est facile de voir qu'on aura d.f{X) = d, ./(X)-f- d,.f{X). En effet, la définition (i) de la différentielle nous donne

/t=0 fl

,. fiX-^-hd^X^hd^X) —fîX ■\-hd^X^s

-t- hm -^ —^ ^

^ dj[ X] -+- lim dj[ X -i- hdy^ X]

= dj[x)^dj[xY

On étendrait sans plus de peine ce raisonneixient à un nombre quelconque d'éléments, au lieu de deux, comme nous l'avons supposé.

Dans le raisonnement qui précède, d^f^X) eld^/[X) représententévidemment les différentielles résultant isolément des accroissements dtX et d^X.

Différentielle d'une somme.

80. La définition même de la différentielle (77) nous montre que la différentielle d'une somme est égale à la somme des différentielles des éléments. Donc, si

Y^U-hr^ . ...

— I07 — Uy J^,* . . étant autant de fonctions de X, nous aurons

Bien entendu, la différentielle dX de la variable indépendante doit rester partout la même.

Diiférentielle d'une fonction composée,

81. Soit J^=y( U, f^y. . .) une fonction de plusieurs variables Uy F,. . ., qui sont elles-mêmes des fonctions d'une seule variable indépendante X.

La différentielle sera, par définition ,

dX z=z iim 7 >

et, en suivant exactement la même méthode que pour les fonctions de variables réelles, on verrait que Ton a

dY=zd^Y-^d,Y-k- ....

d^Yyd^Y,.,. ipeprésen tant les différentielles de la fonction 1 =f[ ^> ^v • • ) lorsqu'on y fait varier isolément ?7, puis ^, . . . .

Il est clair qu'ici, comme précédemment, le résultat obtenu sera toujours une fonction homogène et du premier degré des différentielles dU^ dV, ... ou de la différentielle dX.

Autres propriétés de Topération d.

82. Si l'on décompose un quaternion Y en sa partie réelle Y^ et sa partie vectorielle JT,-, nous aurons

dY^zdYo-^-dYi,

Or, la diflférentielle dY^ d'une quantité réelle est es-

— io8 —

sentiellement réelle, celle d'une quantité vectorielle dFi est vectorielle. Donc

BdY~dY^ = d.i^Y,

\^dYz=:dYi=idXr.

Si nous prenons le quaternion conjugué de Y^ c'està-dire JTq — Yi^ nous aurons

d,c\ Yz= dY^^dYi— cjrfr.

On exprime ces divers résultats en disant que le signe d est commutatif avec les signes 5, tl ou cj.

EXERCICES