Posons
ajx -f- fSfx
La fonction *x représentera évidemment un vecteur qui coïncidera avec x en direction lorsqu'on donnera à X la direction de f ou bien une direction perpendiculaire, et dans ces deux cas seulement.
Au moyen de ce symbole, nous arrivons à donner à l'équation ( 2 ) la forme extrêmement simple
(4) ôx*x = I.
La simple inspection de la forme (3) de la fonction 4> montre qu'on a
De
plus,
nous avons
fl'xY -4- xfSft
et par conséquent
(7) Sx*y=iJ6y*x.
Ces propriétés (5), (6), (7) de la fonction ♦ sont tout à fait fondamentales.
Nous aurons occasion de revenir ultérieurement sur ces notions, en les généralisant beaucoup. Pour l'instant, ces simples indications nous suffisent.
Tangente à l'ellipse.
90. Prenons un point sur la courbe représentée par Téquation (4): puis donnons au vecteur de ce point un accroissement infiniment petit d^^ en ne quittant pas la courbe. Alors nous aurons (81)
S(rfx.*x).-t-S(xflf*x)=o.
Mais la propriété (6) ci-dessus montre immédiatement que rf*x = *dx. Donc, en vertu de la propriété (7),
(8) 0(^x.*xj=o,
ce qui montre que le vecteur *x est dirigé suivant la normale à la courbe.
Actuellement, un point quelconque de la tangente est
dx donné par y =x -i- —j k étant un infiniment petit réel.
Donc, multipliant par *x et prenant les parties réelles,
— laa — c'est-à-dire, en vertu de réquation (4)>
(9) ÔY*X = I.
Telle est l'équation de la tangente en un point x donné sur l'ellipse.
La propriété réciproque (7) montre que l'équation de cette tangente pourrait encore.se mettre sous la forme
Examen de quelques fonctions analogues à «.
91. Pour éclaircir un peu ces notions, nous pouvons les traduire rapidement en coordonnées cartésiennes. Rapportons X à deux axes rectangulaires, en posant
X =.1^1 II -4- JTjIj.
Alors on a
en posant «, = «1^/1 — e'^ (le demi -petit axe).
L'équation de l'ellipse (4) répond donc à la forme connue
al al
et l'équation (9) delà tangente n'est autre que
équation ordinaire de la tangente.
On remarquera l'effet bien curieux d^cette fonction *, qui déforme en quelque sorte les figures dans le plan suivant une certaine loi, puisqu'elle modifie tout vec-
— ia3 —
teur X en altérant séparément ses deux coordonnées suivant des rapports différents.
Si Ton répète la même opération ^ sur 4»x, nous aurons, en vertu de la définition cartésienne {ti)y
. Xt Xm
On aurait de même les symboles exprimés par *',**,
Inversement, appelons *-♦ l'opération qu'il faudrait faire subir à *x pour transformer ce vecteur en x. Alors
X* m Xa
c'est-à-dire, en remplaçant ^ par x\^ 1 par x^ ,
puis supprimant ensuite les accents,
Enfin, si nous posons
Txr=-Jli 4-— l2,
il viendra
Xa Xa
Toutes ces fonctions, comme la fonction fondamentale * dont elles résultent, jouissent des propriétés fondamentales (5), (6), (7).
92. On peut exprimer les propriétés précédentes très simplement sans recourir aux coordonnées ordinaires. Nous nous contenterons d'inscrire ici les formules sans
démonstration, toute explication étant pour ainsi dire superflue :
^ ' al al
(i3) *'^=~v-^-^-^rJ'"'
(i4) ^-^x z=/iJii6i|X+ aJi,Si,x,
(i6) ^2x^<frx,
(17) ^-*x=r — (eiiij0i,x -f- ajijBisx]*
Une conséquence remarquable de ces formules est relative à une nouvelle forme de l'équation de l'ellipse (4). Cette équation, en vertu de la relation (16), peut en effet s'écrire
0xY«x= — I ou ôxY{Yx) = — i.
Mais, la propriété (7) étant applicable à la fonction T,
on a
0xT (^x) = BTxYx = (Yx)*.
Donc, en définitive, l'équation de l'ellipse prend la forme
(18) tYx::^!.
Ainsi Tx est un vecteur unitaire, et l'équation de l'ellipse est ici la même que celle d'une circonférence, ce qui s'explique tout naturellement dès qu'on examine la signification géométrique de la fonction Y.
Tangente par un point extérieur.
93. Nous avons vu plus haut que Téquation de la tangente en un point x donné sur la courbe est
(g) j6iy*x = i
ou
(lo) ÔK^Y = I.
Supposons maintenant que le point t soit donné el que par ce point nous voulions mener une tangente à l'ellipse.
L'équation (lo) nous déterminera le point de contact X que nous cherchons; mais cette équation, en y regardant x comme vecteur courant, représente une droite, qui est par conséquent la corde des contacts. La direction de cette corde est perpendiculaire à *y.
Si nous prenons un point extérieur quelconque R sur la corde des contacts, la nouvelle corde des contacts répondant à ce point aura pour équation Sz^r = i; mais on a, en outre, 0r* y = i , puisque R est pris sur la corde des contacts répondant à Y. De là 6y*r= i, c'est-àdire que la corde des contacts répondant à R passe par Y, propriété identique à celle que nous avons remarquée dans le Chapitre IV pour la circonférence.
Il ne serait pas bien difficile de montrer que la droite Sx*Y = i n'est autre que la polaire du point y, que celui-ci soit extérieur ou intérieur, et d'établir, en parlant de là, toutes les principales propriétés des polaires. Nous ne nous y arrêterons pas, el nous nous contenterons seulement d'attirer l'attention sur la relation entre la direction du vecteur y et celle de la polaire du point Y. Cette dernière, d'après l'équation (lo), est perpendicu-
— ia6 —
laire à ^t, et, par conséquent, si p est un vecteur quelconque suivant la polaire,
(19) SptY— O.
Diamètres. — Diamètres conjugués. — Cordes supplémentaires.
94. Soit que nous cherchions le lieu géométrique des milieux des cordes parallèles à une direction déterminée par le vecteur q. Si P est le milieu d'une de ces cordes, il est évident que les deux points où elle coupe la courbe sont donnés par p -|- a:Q et p — xq. Or, ces deux points étant sur Tellipse, on a
J8i(p-4-j:Q)*(p-f-xQ) = i, 6(p — a:Q)*(p — xq) = i.
Développant et retranchant, on obtient, en vertu des propriétés du n° 89,
formule analogue à la relation (19) du numéro précédent.
Le lieu cherché est donc une droite perpendiculaire à 4» Q ; or, si nous supposons l'extrémité de q sur la courbe (puisque jusqu'à présent nous n'avons pas défini son module), *q représente la normale en q (90). Ainsi, le diamètre est parallèle à la tangente en q, propriété bien connue.
