La relation précédente donne

et, si nous supposons que p soit un demi-diamètre, nous voyons que q représentera le diamètre qui partage également les cordes parallèles à p ; ainsi, les deux direc-

lions de p et de q sont complètement réciproques : ce sont celles de deux diamètres conjugues.

On vérifie que les directions de deux cordes supplémentaires sont conjuguées, car soient ▲ le vecteur d'un point de la courbe, b un demi-diamètre quelconque, les deux cordes supplémentaires seront représentées par A — B, A 4- B. Or

J8(a — b)*(a-+-b)=:Sa*A — SB*BizrO,

puisque Aet b sont les vecteurs de points sur la courbe.

96. L'équation de l'ellipse rapportée à deux diamètres conjugués se déduit immédiatement des propriétés précédentes. En efiet, soient p et q les deux demi-diamètres, etx=MP-t-i^Qle vecteur d'un point de la courbe. II viendra

ou, en tenant compte des propriétés de p et q, c'est-à-dire

Théorèmes d'ÂpoUonios.

97. En vertu de la relation (i6), la relation entre deux diamètres conjugués peut s'écrire

5pT*q — o ou STpYq = o.

Ces deux fonctions Yp, Tq représentent donc deux vecteurs rectangulaires.

Gela posé, on a, d'après la formule (17),

P = V-»Tp = — (ûiI,5ii>Fp -+- fljij^ijTp), Q=:T-*Tq= — (ûiii0iiH^Q-+-fl,i2J5isYQ).

— ia8 —

Mais TPy wq (92) sont des vecteurs unitaires. On peut donc les écrire sous la forme

M""? = i| cosO-h ijsinô, TQrrr — Il sinQ -h I, cosô,

de sorte que p et q deviennent

Q = — «iii sinô -f- a^i^cosô.

Delà

(20) p»4.Qt^(^J^.^|)^

(21) tlpQ= -«ifljia,

13 représentant le vecteur — i| 12 perpendiculaire au plan de la figure.

Ces deux relations (ao) et (21) expriment évidemment les deux théorèmes d'Apollonius.

EXERCICES