SF<î»xfT — SiF*X^ (l — 0F*x
Y*=F«H ■ rz h
Le lieu est donc une circonférence décrite sur le grand axe comme diamètre.
50. Une droite mobile reste constamment tangente à une cir- L. — Quaternions, y
conférence concentrique à t ellipse. On demande le lieu des pâles de cette droite.
T étant le pôle, la polaire a pour équation 0x^y=: i. La distance du pôle à cette droite est (î — =: /-. Donc Téquation du lieu cherché est
qui peut s'écrire
ou enfin (91)
yl „.
ZIa-U. — -
équation d*une ellipse.
51. D'un point extérieur P on mène deux tangentes PQ, PR à l'ellipse; par le centre, on trace les demi-diamètres OQ', OR' respectivement parallèles aux deux tangentes. Démontrer que les deux cordes QR, Q' R' sont parallèles.
On a, en effet, q'z= w(p — q), et, q' étant le vecteur d'un point de la courbe,
M*j6(p — q)*(p — q) = I ou tt'(6p*P — l)=:l.
On trouverait la même valeur pour p que pour w, en posant r' = (> (p — r). D'où q' — r' = « ( R — Q ), ce qui démontre la propriété en question.
52. Si un parallélogramme est inscrit à une ellipse, ses côtés sont parallèles à deux diamètres conjugués.
Soit PQRS le parallélogramme. On a
s — P:lzzR — Qi=:D,
et
J8s*S = 5(p-f-D)*(p-f-D)=:i-h 2Sp*D -f-^D*D = 1,
De même^
et, par soustraction,
ce qui démontre le théorème.
EXERaCES PROPOSES SUR LE CHAPITRE VI.
1. Lieu des milieux des cordes qui passent toutes par un point donné.
2. Lieu des milieux des droites de longueur constante s'appuyant par leurs extrémités sur deux droites fixes dans l'espace.
3. Si deux cordes d'une ellipse se coupent, les rectangles de leurs segments sont proportionnels aux carrés des demi-diamètres parallèles.
k. Soient BOB', COC deux diamètres conjugués : démontrer que les longueurs BG et BG sont proportionnelles aux diamètres parallèles à ces droites.
5. Les diamètres dirigés suivant les diagonales du rectangle construit sur les axes sont égaux et conjugués.
6. Les diamètres dirigés suivant les diagonales d'un parallélogramme circonscrit à l'ellipse sont conjugués.
7. Les sommets de tout parallélogramme circonscrit à une ellipse sont situés sur une ellipse semblable et d'aire double.
8. La normale en un point quelconque de la courbe est bissectrice de Tangle forme par les droites menées de ce point aux deux foyers.
