FA = - — FD, FA' = -^ FD
Alors, O étant le centre,
FO = ^ï^— FD, A A' = -^^ FD, e^ — I c^ — I
1^ = ^, OF==i?.OA, AA 2
Posant OF = f, OA ~ a,
F = B = ek,
et de là on déduit Téquation, rapportée au centre pris pour origine,
(2) «îx»-f-[Srx)'r= «}(*«.-,),
équation qui se tirerait aussi de la propriété des foyers et qu'on peut transformer en écrivant
ce qui donne
La fonction * est identique de forme avec xelle que nous avons introduite au n® 89. Elle possède les mêmes propriétés. Seulement, comme e^ i, on ne peut plus
poser «2 =^ ^\ \i — e^) mais bien «2 = ^t \^^'^ — ' • Alors
si
X 1=1 .'iTj II ~\- .T*g I2.
L'équation (4) n'est donc autre que forme cartésienne ordinaire.
Nous avons les relations
(5) ♦x=.-^..-fî„ =
, ,v^ \ ii6i,x isSi^x
ai - "i j a\ a\
(7) *-*x = — (arjûji!— jr,«| 1^=^1*11 611X — <2|ij6i2x;
mais nous ne pouvons plus introduire, comme pour l'ellipse, une fonction vectorielle W telle que T^x = — ♦x, et, par conséquent, il est impossible de donner à l'équation de rhvperbole la forme (18) du n° 92.
Tangente à l'hyperbole.
99. Comme pour l'ellipse, nous verrions que *x est un vecteur normal à la courbe en X et que l'équation de la tangente en ce point est
(8) 5Y*Xr=r0X*Y — ï.
Cette même équation, en y considérant au contraire y comme donné et x comme vecteur courant, représente la polaire du point Y, laquelle est perpendiculaire à* y.
Diamètres. — Hyperbole conjuguée. — Asymptotes.
100. Comme au n° 94, nous verrions que le lieu des milieux des cordes parallèles à une direction q est une droite passant par le centre et de telle direction p que l'on ait
Les deux directions p, q sont dites conjuguées.
Mais ici il se produit une différence capitale avec l'el-
lipse : c'est qu'une droite de direction quelconque, issue du centre, ne rencontre pas nécessairement la courbe.
En effet, au Chapitre précédent, nous avions toujours, quel que fût x, Sx*x ^ o, en raison même de la formation delà fonction <^, et, dès lors, il suffisait de disposer du module de x pour tomber sur un point de la courbe. Ici, au contraire, en partant de la formule (5), on voit que Bx^x ne sera positif que pour des directions de x comprises entre les deux limites «i ii dr a2i2« Ainsi, il y aura des diamètres rencontrant la courbe et d'autres ne la rencontrant pas, ou, comme onle dit par abréviation, des diamètres réels et imaginaires.
On reconnaît sans peine que, si l'une des deux directions conjuguées p et q de la relation (9) ci-dessus est réelle, l'autre est imaginaire, et réciproquement. Par conséquent, les extrémités de deux diamètres conjugués serait une expression dénuée de sens, si l'on ne pouvait lui en donner un par l'introduction de l'hyperbole ayant pour équation
(10) 6x*xr — I,
dite hjperbole conjuguée de celle qui a pour équation (4). L'hyperbole conjuguée a pour diamètres réels les diamètres imaginaires de l'autre, et réciproquement. L'équation
représente l'ensemble des deux droites issues du centre et fixant les directions limites, c'est-à-dire des deux asymptotes.
Avec l'hyperbole conjuguée, considérée comme complétant la courbe, les propriétés des diamètres de l'ellipse, démontrées aux n°* 94 et suivants, subsistent intégralement.
101 . Soient u et v deux vecteurs unitaires suivant les asymptotes. Posons x = uu -f- v» v. Alors Téquation (4) devient
tt'6u*u -h p'Sv^v -f awi'Su^v = i
ou, les deux premiers termes disparaissant, en vertu de l'équation (i i),
^ ' 2fiu*V
Nous obtenons donc ainsi Téquation de Thyperbole rapportée à ses asymptotes.
Il est facile de reconnaître que la constante k^ a pour
valeur — — -, — -•
