La tangente en X a pour équation

Si nous cherchons son intersection avec le système des asymptotes (11), nous remplacerons y par x 4- ^t, t désignant un vecteur suivant la tangente, et nous aurons

J6i(x -f- Zt)*(x -h Zt) =0 ou I-h3*0T*T = O.

Cette équation donnant pour z deux valeurs égales et de signes contraires, nous voyons que la tangente, limitée aux deux asymptotes, a pourpoint milieu le point de contact.

Si P est le milieu d'une corde qui coupe la courbe en X, X' et les asymptotes en Y, Y', soit q un vecteur unitaire suivant cette corde. Alors, posant PX = jcq, PY =j'Q, on a, en exprimant que X est -sur la courbe et Y sur les asymptotes,

6p*P -H/'ÔQ*Qrrr0,

— i38 — d'où

c'esl-à-dire que le produit des deux segments de la corde, formés par les deux asjrmptotes et la courbe, reste constant lorsque cette corde se déplace parallèlement à ellemême.

Théorèmes d*Âpolloniu8.

103. p et Q représentant deux demi-diamètres conjugués, le premier réel, le second imaginaire, nous pouvons mettre le premier sous la forme «i z/j ij 4- asM2i2>le second sous la forme «i t^j ij 4- «2*^212 • Exprimant alors qu'on a

J6ip*P3=:|, 6q*q = — I et 6p4>q = o, nous trouvons

u\~-ul=zl, çl—u]=:l, «iri^rl/jl^î,

relations auxquelles on satisfait en posant z/f = p», = Ch 0, «2= ^'^ == Sh0. Alors

Delà (i3) v*-Q^=-{a\~al)^

(l4) IJPQ— — «1Û.2I3,

relations qui expriment les deux théorèmes d'Apollonius.

On reconnaît en outre, intuitivement pour ainsi dire, que le parallélogramme construit sur deux diamètres conjugués a ses sommets sur les asymptotes, car

Les diagonales de ce parallélogramme sont donc dirigées suivant les asymptotes, et les cordes joignant les extrémités de deux diamètres conjugués sont parallèles aux asymptotes, ce qu'on reconnaît d'ailleurs directement en vérifiant qu'on a

Forme vectorielle des écniations.

104. Aussi bien pour l'hyperbole que pour l'ellipse, on peut représenter la courbe et rechercher ses propriétés au moyen d'équations vectorielles offrant une concordance complète avec celles de la Géométrie analytique ordinaire.

Ainsi, l'équation de l'hyperbole rapportée à ses axes pourra s'écrire

(i5) X =zrr/ittiii-h ^îttjia,

avec la condition ll'^ — i/i^ = i , ou, ce qui revient au même,

ou encore, en posant «4 1 , = a i , «g i j = Aj,

(16) X — AiChô + AjShÔ.

Cette forme (16) convient encore à l'hyperbole rapportée à deux diamètres conjugués quelconques A| et Aj, même lorsqu'ils ne sont pas rectangulaires. L'hyperbole conjuguée a pour équation

(17) X=:AiSh0-HA2Ch0.

Revenons maintenant à l'équation de l'hyperbole rapportée à ses asymptotes (101). Si a, b sont deux vec-

— j4o — leurs unitaires suivant les asymptotes, Téquation sera

rt' -f- éi^ avec la condition uv = 1^= -^—, — - 5 ou

ou enfin, en n'assujettissant plus a et b à être unitaires et en remplaçant A^ b par b,

(18) Xrzz/A-h-,

forme extrêmement simple.

La direction de la tangente sera donnée par différentiation :

fix=: Adt -dt:= —itX ) •

Ainsi tK est parallèle à la tangente; il est visible

que c'est le demi-diamètre conjugué de x, si bien que rhyperbole conjuguée a pour équation

Nous bornerons là ces notions très sommaires sur l'hyperbole, et nous compléterons cette étude par un petit nombre d'exercices; dans quelques-uns d'entre eux, nous reprendrons des propriétés déjà établies plus haut, comme application des équations vectorielles que nous venons de voir et afin de montrer la variété des ressources que présente la méthode des quaternions.

EXERCICES

53. Si l'on construit un parallélogramme OLXM sur les coor^ données OL» OM d*un point X de la courbe ( rapportée à ses asymptotes) y la diagonale LM de ce parallélogramme sera pa^ rallèle à la tangente en X.

En effet, réquatîon (i8) nous donne

OLrrr^A, OM=-i d'oÙ ML = /A — -•

54. Tout diamètre OX aboutissant à un point de la courbe divise en parties égales les cordes parallèles à la tangente en X.

Soit K un point de OX, avec OK = >. OX ; appelons LM la corde parallèle à la tangente en X qui passe par K; nous aurons

f rA -h - j -I- .r ( /A — - J = OL = /-

Donc (> -f- j:)r = /', = -7» à*oii >* — j;*=i; par

conséquent, x peut avoir deux valeurs égales et de signes contraires, c'est-a-dire que KL = — KM.

Remarque, — Deux vecteurs ^a-4- jb, .r'A -h j'b ont des

directions conjuguées lorsque — h ^ = o ou xy -+- x'y = o.

En appelant K le milieu de la ionnée ML, on vérifierait

immédiatement cette conditic qui donnerait encore une

autre démonstration du théorèi

65. Soient TS, T'S' deux tangentes h l'hyperbole, limitées aux asymptotes et se coupant en R. Démontrer : i" que TS', T'S sont parallèles ; 2» que les triangles TRT', SRS' sont équivalents-^ 3® que le rayon OR, issu du centre, partage par le milieu TS' et T'S.

1® L'ëquation de la tangente TS en X est

X^=tk

faisant x=zi^ puis .r = — i , on a

et de même

Delà,

TS'=:?(b~W'a), rS=r:-(B-/^'A),

Or, on a aussi

donc TS', T'S sont parallèles entre eux et à X'X.

2«» Écrivons OR = OT -i- z.TS = OT 4- 2'.T'S', ou, d'après les valeurs précédentes,

2^A-f- 22( tA]=i 7.1' k -h 25' l - — t\ ] .

Delà,

ce qui donne

zt — z't'z=:t — t' y z' t — z t'=o,

c'est-à-dire