OU

nuv Donc

T= 2WU,

et de même

TS'rr: — 2//U -+- 2/v, T'S =r^ — iu'v-\-2,v\ sout douc des vecteurs parallèles entre eux et à

XX'=:z(tt'— m)u+ (/— (^)V, V V v' — V

car = ; = -7

a® €t.(2Ls =z ^t' .(2Ls' = 4 "^ == ^u' \f' . Les triangles OTS,

O T' S' sont donc équivalents, et, en retranchant le quadrilatère

commun OTRS', il en est de même de SRS', TRT'.

3* Bk*x = i, 0r*x'=i, doù 0R*(x — x') nno. Le vecteur r est donc conjugué de la direction XX\ et, par conséquent, il divise en deux parties égales les cordes, soit de la courbe, soit du système des asymptotes, parallèles à cette direction. C'est ce qui a lieu pour TS' et T' S en particulier.

56. Si, par les points P, P' d'une hyperbole et par le point de contact Q d*une tangente parallèle h la corde PP' , on mène des parallèles à l'une des asymptotes, qui rencontrent l'autre en C, C et D, les trois longueurs OC, OD, OC formeront une proportion continue.

Soit ■

it Q = / A -h - ; alors la direction de PP' est /a > et nous

avons

1/ A -i-p B = j: UA H- - j +>■ f /A j

z=i[x—y)th-h [x-\-y] -.

De là, u = (.^-f-r)'» «'= (•^"- j)^ ^*~T = J^* — X* = » ( Ex. 54), ce qui démontre le théorème.

57. Si l'on prend une corde d'hyperbole pour diagonale d'un parallélogramme dont les côtés soient parallèles aux asymptotes, l 'autre diagonale passe par le centre,

Soient x = /a H — > x'=z t' A-h -,> les vecteurs des extré-

mités de la corde; l'autre diagonale sera évidemment

elle passe par le milieu de la corde. Or, on résout l'ëquation

en posant

Donc la diagonale passe bien par Torigine.

58. Deux tangentes aux extrémités d*un même diamètre BBi rencontrent en T et Ti la tangente menée au point C de la courbe; OC, OB' sont les demi -diamètres conjugués de OG,OB. Démontrer qu'on a

CT JCT^ __ OÇ '" BT""Bjri ""6F'

7/> CT.CTi=OC ;

3° BT.BiTi~OB'.

1 ^ Désignons, comme d*usage, les vecteurs par les lettres de leurs extrémités, en remarquant que B] = — b. Nous aurons

Sb*B==I, ScOCizrl, Sb'*b'= — I, Sc'*c'=r — I,

5t*b = i, 0Ti*bi= — I, j8it*c = i^ 0Ti*c=:i.

Posons CT = 3 . OC, BT — y. Oh'. Alors t — c = zc' ; donc

Donc 7* = z*, d'où