Différentions l'équation ( 3 ) ; nous avons ou

Remplaçant dx par y — x, nous avons l'équation de la tangente en X, qui se réduit à

(7) SiY(*X 4- B-^) -4- 5b-*X= F.

La relation (6) nous montre que le vecteur normal a

pour direction

l'équation vectorielle de la normale est donc

(8) Zr=:X-f-2(*X -*- B"' ).

Si nous cherchons rintersection T de la tangente avec l'axe, nous remplacerons, dans Téquation (7), y parj^B, ce qui donnera, en vertu de (4),

j — I — $B-ix, tT = B - B 6 B-' X = FD — FP = PD.

Delàencore, FP= ÏD et AT = PA, puisque FA =r AD. Quant à la longueur de FT, nous Taurons en écrivant

^r«. -♦ • va l"' 5bx]*

FT*=r (b — bSb-»x)*zzz ^- zzzx*,

d'après Téquation (1). Ainsi, FT = FX. De là résulte que la tangente est bissectrice de Tangle EXF et que la figure FXET est un losange, si bien que FE est parallèle à la normale; FEXN est donc un parallélogramme.

La normale est parallèle h *xH-b"~*, et par conséquent à B-*x-{-B ou à — B-*x — B. Mais XP= — b^^x; donc PlN = — B :^ DF, ce qui démontre la constance de la sous-normale.

L'équation (7), lorsque le point X n'est pas sur la courbe, représente la polaire de ce point.

Diamètres.

107. Pour avoir le lieu des milieux des cordes parallèles à une direction donnée d, nous remplacerons, dans Téquation (3), x par y -Hj^d, puis par y — yo. Développant et retranchant, il reste

(9) 5y*d -h Sb~*d =r o,

équation d'une droite perpendiculaire à *d, et par conséquent parallèle à l'axe.

— loa —

La direction d est perpendiculaire à *y -4- b" * , c'està-dire au vecteurnormal au point où le diamètre coupe la courbe, de sorte que la tangente en ce point est parallèle aux cordes divisées.

Forme Tectorielle des écpiations.