Si nous posons
x = ^iii 4- .^tij et B = — 2/>in
la fonction *x (105) devient — y~Îj et Téquation (3) de la parabole revient conséquemment à
Déplaçant Taxe des X2 de manière à placer l'origine au sommet A de la courbe, on obtient la forme connue
Par conséquent, Téquation vectorielle de la courbe peut s'écrire
(10) X = ■— -Ij-h^ah^ 7- Ï1-+- 'lî-
On verrait aisément qu'une forme analogue
X = -y—, A H- tB
représente la courbe rapportée à un diamètre et à la tangente à l'extrémité ; seulement, les vecteurs a et b ne sont plus rectangulaires.
Ces formes peuvent encore se simplifier en ne supposant plus que A et B soient des vecteurs unitaires. On
— i53 peut alors écrire
La direction de la tangente sera donnée par la dérivée ^A -h B, et l'équation de la tangente est, par conséquent,
(12) Y = — A -I- rs -H x(/A -4- b).
La similitude de ces formes avec celles de la Géométrie analytique ordinaire est si évidente, qu'il est inutile d'insister plus longuement. Les exercices qui vont suivre montreront suffisamment comment on peut appliquer l'algorithme des quaternions à des problèmes de diverse nature, quelquefois même en suivant au fond les raisonnements et les procédés de la Géométrie ordinaire.
EXERCICES
fiO. Par un point quelconque C du pian d'une parabole
on mène deux cordes PP', QQ', parallèles à deux directions
CP . CP' fixes. Démontrer que le rapport ' conserve une valeur
constante, quel que soit le point C.
Soient d, e des vecteurs unitaires suivant PP', QQ'; nous avons p = c + xD et, remplaçant x par p dans l'équation (3) du n° 105,
OU, en développant,
j:*j5D*D-i-2(Sc*D 4- ^DB-'jar-f-Sc^C 4- 2SCB~' — I :^0.
Donc
XX =r
^g4>G + 26CB~^ — I
de même
xy=
par conséquent j
xx' __ QP.OP^ Se*k
rapport indépendant du point C.
Si D =r OD [fig, -27 ) , on a
DKr= — B*4»D et *D =
KO
^0(OD.KD) =
--sin^t^.
De même
Se*e =z
-rsm^e, b'
si'e repre'sente Tinclinaison de e sur l'axe de la parabole, et, par
conséquent, le rapport ci-dessus a pourvaleur-
sin* s
sin*<y
61. Trouver le lieu des points qui dinseiit un système de cordes parallèles d'une parabole de telle sorte que le produit des deux segments soit constant.
Le calcul de l'exercice précédent nous montre immédiatement
que réquation du lieu cherché sera
6c*c -h 2 6cB~* — I = /6d*d,
G étant le vecteur courant:
C'est évidemment aussi une parabole.
62. Du sommet Â. d'une parabole [fig* 26) on abaisse une perpendiculaire sur la tangente en X, et on la prolonge jusqu'à sa rencontre en R avec la parallèle XE à l 'axe. Trouver le lieu du point R.
On a
Donc, A étant égal à - 5
Opérant par *xX, puis prenant les parties réelles, il reste, si Ton remarque que b est perpendiculaire à 4»x,
a:(*x)^= ôx*x =-- B*(*x)*, comme on l'a vu plus haut (105). Donc .r = b*, et
sera Téquation vectorielle du lieu, qui est évidemment une droite parallèle à la directrice.
63. Déterminer la podaire de la parabole par rapport au sommet pris pour pôle,
y représentant lé point du lieu situé sur la tangente en X, nous avons, en exprimant : i" que AY est parallèle à la normale; 1^ que Y est sur la tangente; 3° que X est sur la parabole ;
— iJ6 les trois ëqnations
Opérons saccesâTeiDCDt SOT i;par5.«xX,iMiis[MurS.BX
Siifastitiiant laTaleur de5T^xdBiis [2] et remplaçant 6x^ par b' '^x]' dans (3}, ces équations deviennent
jc'*x '-+-SB-'Y-hSB-«x = i,
B* [♦x^* -h 25b-'x ht I ; de là
OU
raÔB^Y — -) — b» |(*x)*-r-2SB-M y — -j = o.
Actuellement, posons y = z; l'équation (1} nous donne
♦x =: B~*, d'où, remettant pour x sa valeur 5bz,
(26BZ— b*)[z*-+-(Sbz)*b-* — 2SbzSb-*z]
-h 2(Sbz)*j8b-^z = o,
équation qui se réduit à
2z'5bz — e'z'-i- (Sbz)'=o.
C'est l'équation de la podaire cherchée, rapportée au sommet A comme origine. Il est assez facile de reconnaître que ce lieu est une cissoîde, qu'on peut construire au moyen du cercle de diamètre AD.
Autrement, au moyen des équations vectorielles, nous avons, en appelant Z le point de la podaire et X le point de contact,
z = Zi A -t- 3jB, Xi=:— A-h^B.
Exprimant qu'on a z — x||f a -f- b, puis 5z (z — x) = o, on a
et il suffit d'éliminer t entre ces deux équations pour obtenir l'équation de la podaire en coordonnées ordinaires.
