Soient AP, AQ deux cordes rectangulaires d'une para
bolCy issues du sommet; PM, QN les ordonnées de F et Q,
abaissées perpendiculairement sur l'axe. Démontrer que le
paramètre ^p de la courbe est moyen proportionnel entre AM
et AN, et aussi entre PM et QN.
Soient xi, x, les coordonnées de P, y^Xt celles de Q; on a et
en comptant les coordonnées comme positives ; alors 6 pq = o BOUS donne
[6p et aussi
-'^'=ïi^='^'''-
65. />a/i5 /a construction de l* exercice précédent, on com--
plète le i-ectangle construit sur AP, ÀQ. On demande de déter^ miner le lieu du sommet R opposé à A.
On a
»=i:P-f-Q=:-2-7 -\^-\- [x^ — y^]li
ou, puisque x^y^-=i i6/?',
Le lieu est donc une parabole égale à la parabole donnée.
66. Démontrer que le cercle décrit sur une corde focale comme diamètre touche la directrice et qu'un cercle décrit sur toute autre corde ne rencontre pas la directrice.
Si deux points
sont situés sur la parabole, on a
p H Q =r . — ii;
donc — ~7~^ représente l'abscisse du point où la corde coupe
l'axe; si c'est une corde focale, nous aurons x^y\-\- ^P^=^ o* Cela posé, l'équation de la circonférence de diamètre PQ est
celle de la directrice,
— iSg —
Donc,
- x= ^1^ -+-/;jii-4- (.r,- 3)i„
et il faut
fêHfê^'')"^^"'-'^^'''"''^'*
ou
équation manifestement impossible, sauf dans le cas où jTj^j -t- 4^^*' ^= o, et alors, les deux racines étant égales, la circonférence touche la directrice.
67. Deux paraboles ont même axe et même foyer; leurs sommets sont de part et d'autre du foyer; une corde focale les coupe en PQ, P' Q', de telle sorte que les points se succèdent dans l 'ordre P, P' , F, Q, Q' . Démenti er : i « que FP . FP' = FQ . FQ' ;
FP 2® que r-ry est constant; 3° que les tangentes en P, P', Q, Q'
forment un rectangle.
L'équation vectorielle d'une parabole, rapportée au foyer comme origine, est (108)
={rp-'Y
~i «^îiî»
Coupons- la par la- corde focale de direction
K = ij ces ô -f- ij sin 6 ;
— i6o — nous aurons
2 COSÔ = 7^ — /?, Z sinô =r; .r,,
d'où
»*sin'ô — ^pzQo^B — 4/^*= o«
Les deux racines — ri —7% prises en valeur
1 — COSÔ I -h cosô *
absolue, seront les modules de FP, FQ, et Ton aura FP', FQ'
en changeant /? en — p\
Les valeurs de z répondant à FP, FQ, FP', FQ' sont
