CHAPITRE IX

J09. Nous avons précédemment établi (37]^ en ce qui concerne les produits de deux vecteurs, les quatre formule*» très importantes que voici :

fi". 5ab=5ba.

[3] AB + BA=2dAB,

( 4 ) AB — BA = 2 tl AB.

Si 9 au lieu de deux vecteurs, nous considérons deux quatcrnions ud ^Bj décomposés respectivement en leurs parties algébriques et vectorielles, Ao-\- -^i et -BoH- B/, nous aurons, en appliquant les formules (i) et (a) cidessus :

AB r- AoBo-^ AoBt-'fBoAi'^f&AiBi-^ ^AiBi, BA L.. AaBo 4- AoBf^ BoAi-hi^AiBi— \}AiBi.

De là on déduit immédiatement

(5) !àAB = BBA,

(6) \^AB 4- \}BA = i{AoBi-h B^A,),

(7) \)AB—\}BA = iibAiBi.

Produits de trois vecteurs.

110. Remarquons toul d^abord que, si a représente un vecteur et B un quaternion quelconque, l'expression S,k$B est identiquement nulle, puisqu'elle indique la partie algébrique d'une quantité vectorielle. Cette observation, faite une fois pour toutes, simplifiera beaucoup les développements ultérieurs. Il faudra seulement se rappeler qu'on pourra ajouter ou retrancher à volonté des expressions de la forme considérée, sans apporter aux quantités aucune altération.

Cela étant, nous voyons tout d'abord qu'on a

S ABC = 6[6aB-4- UAB)c=6(tJAB.c)

= ScUaB r= J6c($AB -+- tJâB; = $CAB,

5 ABC z= B A [Szc -h b BC] =Z s hb BC

=r S(UaC.a) =: 6(6bC -4- Ubc)a =13 Sbca.

Ainsi

(8) 0ABC.-3=£IbCA = 0CAB,

résultat auquel on aurait pu parvenir, plus rapidement peut-être, au moyen de la formule (5), en écrivant

S . AEC =S(a.Bc) =6(bC.a) =:^6 BCA :^ 5 ( B . Ca) = S CAB.

On a aussi

Sabc = SaUbc =r — SaUcb=: — 5acb, et, de plus,

Î9) SABCr= — 6aCB = — £ICBA 1= — 5 BAC,

Ainsi, la partie réelle d'un produit de trois vecteurs n'est pas altérée par une permutation tournante des fac-

leurs, mais elle change de signe lorsqu^on modifie Tordre autrement que par une permutation tournante.

Nous avons déjà vu (49) que 5 abc représente le volume du parallélépipède construit sur OA, OB, OC. Si

sont respectivement les coordonnées de A, B, C, rapportés à un système d^axes rectangulaires, et si nous développons le produit des trois vecteurs

A =r Xi I, -^ .r,lj -h Xj I3, B = Jili -+- Jjl, H- J3 I3,

C = 3iIj-f-Z,l2-h38l8,

on voit immédiatement qu'on aura, en vertu des conventions fondamentales sur les unités 11,12; I31