Nous avons

Oj

UABCi=r t)[AdBC -|- aIIbc) = aSbC -f- tl.AbBG.

ABC =r A0BC -|- aIÎ BC,

CBA= (6cb) A-f- (bcBJA == a6bC — UbCA.

De là, par addition, et en tenant compte de la formule (4)>

ABC -f CBA = 2A0BG -f- 2tl[At)BG],

c'est-à-dire

(11) ABC -4- CBA =: 2 b ABC.

Si dans celle formule, tout à fait générale, on permute les lettres à et c, le premier membre ne change pas; donc

(12) t)ABC = tlCBA.

On a aussi

UabC— CÔAB -J-U(tJAB.c) =C0AB — tl.cbAB, bcAB == C$AB -f- b .cb AB,

et de là, par addition,

(13) tiABC + tlCAB = aC$AB.

On peut écrire

iJ.AllBCm lbA[BC — Cb) = |(U ABC -+- bcAB — UcAB — UaCb],

ou, en vertu delà formule (i3) qui précède,

(i4) tl.AtiBc = cSab — b6ac.

En permutant circulairement les lettres A, b, c, puis ajoutant, cette formule (i4) nous donne

(i5) U(AbBc-f- stlcA-h cUab) = o.

Si nous substituons dans la valeur de Uabc, écrite au commencement du présent numéro, l'expression (i4)? nous aurons

(16) tiABC=:A0BC — B0AC -f c6aB,

formule importante sur laquelle se vérifie immédiatement la relation (la)* En faisant usage, au contraire, de la relation ( 1 2 ), on arriverait directement à la formule

— i68 — (i6) au moyen de ridentilé évidente

ABC -H CBA = a(bC -f- Cb) — b(aC -h Ca) -f- c(aB -f Ba).

Enfin, si nous remplaçons A par IIab dans la formule (i4)> nous obtenons

ll(bABt3Bc] =C$(bAB.B) — B$[tlAB.c) = C0ABB — b6 AIlC , OU

(17) t)[bABt)BC) = — b6aBC.