Dans la formule (14)9 remplaçons a par Uad. Il viendra

(19) t)(bADt3Bc] = cdADB — B$ADC.

De là, par un simple changement de lettres,

U [UbcU ad] 1= dSbCA — A^BCO,

et, en ajoutant avec (12),

D^BCA — aSbCD — bS ADC4- cSaDB = G,

relation à laquelle on peut donner Tune des deux formes a5bcd — b5acd -h c6abd — d^^abg = o,

A0BCD — D0ABC -{- c6dAB — B0CDA = O.

En remplaçant d par x, celle relation peut encore s'écrire

(21) X0ABC = a5bcx -h bScax + cJSabx.

Sous cette forme, elle est d'une grande utilité, car elle fournit, comme on le voit, le moyen de décomposer un vecteur quelconque x suivant les directions des trois vecteurs A, B, c.

C'est en quelque sorte l'établissement d'un système de coordonnées arbitraires ; et en partant de là, il serait facile de trouver les formules habituelles de transformation d'un svstème à un autre.

Si cependant A, b, c étaient coplanaires, la relation (21) ne donnerait plus la décomposition indiquée, le premier membre se réduisant à zéro; et en supposant quex, A, B, c soient coplanaires, chacun des termes de la relation (21) s'évanouirait séparément.

114. Les trois vecteurs Mbc, Mca, IIab ne sont pas coplanaires en général. Nous pourrons donc ordinairement décomposer suivant ces trois directions un vecteur quelconque. C'est ce que nous allons essayer de faire, et cela .nous fournira en même temps de nouvelles relations sur les produits dans lesquels entrent quatre vecteurs en général.

Ecrivons donc

X z=:atiBC+ jSUcA -h yU AB.

Si nous opérons par 6. a X, il viendra évidemment

6aX =:OLSAbBC = a$ABC,

et nous aurons deux relations analogues en j3, y.

Substituant ces expressions de a, (3, y, dans la va-

leur de x,

(12) x6ABC = bBG6AX+ bcAJSBX H- UaBJScX.

SI nous remplaçoDS dans cette formule x par d, puis si nous efTectuons des permutations circulaires successives entre les lettres AyByC,Dy nous aurons, par addition ,

( a6bCD+ B0CDA + C0DAB + D$ABC ' ( =2(tiABÔCD-T- UBCfiDA + bcDÔAB-f-llDASBc).

Donnons encore, sans plus de détails, les formules ci-dessous, qui résultent immédiatement des précédentes,

( ^ABCD =: 6(a0BC — b5aC + CJ$Ab)d

} =j6ab6cd — BacSboH- Sad^bg,

5(tiAB.llcD) r=Ô(AB — Sab)(cd — 0CI))

(25) \ =6abcd — Sab^gd

= 6ad0bg — dACJ^BO.

Produits de plusieurs vecteurs.