Reprenons la formule du n

CJ(aB. . .Gh) = [ l)'*HO. . .BA.

On peut l'écrire

Sab. . .OH — IJaB. . .GH = ( — iJ^HG. . .BA.

Si nous la combinons avec Tidentité .

£iAB. . .GH + t)AB. . .GH= AB. . .GH,

il viendra, d'une manière générale,

( 20AB. . .OH = AB. . .OH -h ( — i)"HG...BA, ( 2 b AB . . . GH =: AB . . . GH — ( — I )" HO . . . BA,

De là encore

(27) JSaB. . .GH = ( — |)"J6hO. . .BA,

(28) IIaB. . .OH =r— (— iJ^lÏHG. . .BA.

Plusieurs des relations précédemment obtenues ne sont que des cas particuliers de celles-ci.

Rotations.

116. Si on fait tourner d'un angle quelconque 2 a, autour d'un axe A, un vecteur Ri parallèle à cet axe, il ne subira aucune modifîcation. En le désignant par r', après la rotation, on a donc

et on peut écrire, par exemple,

r'j = A~^RiA*,

puisque r< est parallèle à a.

Si on impose la même rotation au vecteur n, perpendiculaire à A, ce vecteur deviendra évidemment

Cette expression peut aussi s'écrire

R^ = A~*RjA*=: (cOSa — A sina)RjA*z= COSaRjA* — sin«AR,A" rn R2(cOSa -f- Asina)A*= RjA'',

car AR2 = — RjA, les deux vecteurs étant perpendiculaires (38).

On voit donc qu'un vecteur r quelconque, pouvant se décomposer en Rj et R2> sera représenté après la rotation par

si nous désignons par /5^ le verseur a", ou même un quaternion de même axe et de même argument.

Si nous soumettons à la même opération, non plus un vecteur r, mais une biradiale représentée parle quaternion //, il est visible que

représentera ce qu'est devenue la biradiale R après la rotation.

C'est dans ce sens, d'une manière générale, que nous pouvons considérer l'opération A^^ ( ) A comme représentant une rotation, quelle que soit l'expression géométrique qui figure dans les parenthèses.

117. Si à une rotation a** en succède une autre b^?, puis une troisième et ainsi de suite, la résultante sera évidemment

si nous posons ABC. , ,=. Q.

On voit ainsi que la composition des rotations se traduit par une multiplication de biradiales et que Tordre des rotations influe sur le résultat.

Pour des rotations infiniment petites, a* peut s'écrire I 4- A a en négligeant les infiniment petits d'ordres supérieurs. La rotation résultante de plusieurs rotations est donc, avec la même approximation,

(i-hAa)(i4-B;3)...=:i-|-Aa4-B^4-...,

si bien que l'axe de cette résultante se trouve représenté en grandeur et direction par a a 4- b j3 -h- . . . .

Nous bornerons là ces notions très sommaires, qui présentent surtout un grand intérêt dans les applications mécaniques.

EXERCICES

C9. Trouver la condition pour que les hauteurs d*un tétraèdre se rencontrent.

Soit OABC le tétraèdre (OA =i:a, OB = b, OC = c). Les hauteurs issues de A et de B peuvent s'exprimer, en direction, par Ubg, lîcA. Si elles se rencontrent, les trois vecteurs b — a, ^^ Bc, b ga seront coplanaires. Donc

S{b — AJbBcbcA =z G,

c'est-à-dire

5(b--a)II(IIbc Uca)=o; or

l3(tlBc.bcA] = — cdBCA[ formule (17)], et par conséquent la condition devient

j5bc = Sac, (c — b)* — b' — c*= (c — a)' — a' — c',

OU enfin

gr'BC -4- gr'OA = gr'AC -h gr'OB,

ce qui exprime que la somme des carrés de chaque couple d'arêtes opposées est la même. Cette condition est nécessaire et su fusante.

70. Si deux tétraèdres ABCD, A'B'C'D' sont tels que les droites AA', BB', CC, DD' concourent en un même point 0, les intersections des plans des faces correspondantes sont situées dans un même plan.

Posons

OA=A, OBirrB, ... et OA'=:-A, OB'==-B, ....

Le plan ABC est (60) perpendiculaire au vecteur

L= Uab 4-tiBc 4-bcA.

De même A' B' C est perpendiculaire à

on à

31 =r y t) AB -4- « ti BC -4- ,S iJ CA.

L'intersection des plans ABC, A'B'C est donc parallèle au vecteur t) lu, c'est-à-dire [formule ( 1 7)], si on néglige un facteur réel, à

On a de même, par permutations tournantes des lettres, trois vecteurs a', b\ g', parallèles aux intersections des autres faces, et Ton vériûe sans peine que

Sa'b'c'=zSb'c'd'i= . . . — o,

ce qui montre bien que les quatre vecteurs a', b', g', d' sont coplanaires, c'est-à-dire que les intersections sont elles-mêmes dans un seul plan.

71. Soient Of A, B^C^D^'E sîjc points quelconques; i'ay^^bi » • • les volumes fies tétraèdres BCDE, CDEA, . . . e/? grandeurs et en signes; OA', OB', OC, ... les projections de OA, OB, OC, . . . sur une direction fixe quelconque OX. Démontrer qu'on a

('«OA^-f-riOB'-h ... =0.

Formons la quantité

a0(BC.BD.BE) = aS(c — b)(d — b)(e — b).

Elle se réduit à

a6(gD£ — DEB -+- EBC — BGd).

Si nous formons les quatre quantités analogues et si nous iijoutons, nous voyons, en tenant compte de la formule (20], que la somme s'annule. Donc, à un facteur constant près,

Pik H- Vf,B 4- . . . =r O.

Si K est un vecteur unitaire suivant OX, il nous suffit d'opérer par £> . K X pour que la relation précédente nous donne l'égalité en démonstration.

72. On donne trois plans et V orientation du quatrième; déterminer l'équation de ce dernier plan de telle manière que les quatre plans se rencontrent en un même point»

Soient

SAX=r«, SBXn=l^, Sc\z=zc *

les équations des trois premiers plans, x le vecteur du point d'intersection commun ; d un vecteur de longueur quelconque, perpendiculaire au quatrième plan. Alors, l'équation de ce dernier plan est de la forme 0dx =r rf. Mais, en vertu de la formule (22] et des équations des trois premiers plans, nous avons

X0ABC =: ûIIbC -h èbcA -f- cIIaB.

Opérant par S .d X, en tenant compte de la quatrième équation,

d^ÂJiC = a0BCD -+- bêcKD -+- C$ABU.

Cette relation donne la valeur de d, et par conséquent l'équation cherchée.

73. SI l'on réprésente les aires des faces d'un tétraèdre par des vecteurs perpendiculaires à ces faces et dirigés tous vers Vex» térieur ou tous vers l'intérieur, la somme île tous ces vecteurs est nulle.

Soient a, b, c, d les vecteurs des quatre sommets. Les vecteurs représentant les faces ABC, CBD, DBA, AGD seront, au

facteur I près, t)(A — b) (c — b), ... et, en développant ces expressionSy on voit immédiatement que la somme est nulle.

CoROLLAiEE. — Il en est de même pour un polyèdre quelconque, ce polyèdre pouvant se décomposer en tétraèdres, et les faces contiguës donnant lieu à des vecteurs égaux el de signes contraires.

Nous avons déjà démontré plus haut cette propriété (p. 83] ; mais il nous a semblé qu'il pouvait être intéressant de la reproduire ici, à titre d'application des formules.

74. Si dUin point fixe on mène jusqu'à un plan fixe V-oisvecteurs rectangulaires quelconques, la somme des inverses des carrés de leurs longueurs est constante.

Soient O le point fixe, D le pied de la perpendiculaire OD sur le plan fixe, OA, OB, OC les trois vecteurs rectangulaires. Posons

0D= n zrr ,rA -4- JB -h zc\

alors (H)

Mais si Bdx = r/ est l'équation du plan fixe, on a, en remplaçant X successivement par a, b, c et en tenant compte de ce que les trois vecteurs sont rectangulaires,

Donc

\pj- b* C*y A* B* C* d