ÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ

Équation générale du premier degré.

H8. Une équation du premier degré, par rapport à un quaternîon inconnu JT, est celle qui contient ce quaternion à la première puissance, avec des quaternions connus, soit isolément, soit sous les caractéristiques 6 ou b.

Cette équation aura donc la forme

Le troisième terme rentre dans les deux premiers si l'on remplace \^A"XB" par A"XB"—^A"XB\ de sorte qu'on a

(i) 1AXB^1C.BA'X£' = F.

Pour résoudre cette équation, on décompose les quaternions en leurs parties réelles et vectorielles. Des calculs faciles, bien qu'un peu longs, et dans le détail desquels nous n'entrerons pas ici, montrent que la partie réelle Xq et la partie vectorielle x du quaternîon X s'obtiennent séparément, savoir : X^ parles procédés les plus ordinaires quand on connaît x, et x par une équation de la forme

(9.) 2b0ax 4-UQx = c.

Toute la question est donc ramenée à la résolution de cette équation, dans laquelle Tinconnue est maintenant un vecteur.

119. Désignons par ♦x le premier membre de l'équation (2). Cette fonction est du premier degré en x et représente un vecteur : nous dirons que c'est une fonction vectorielle et linéaire.

Si par le symbole *~' nous représentons la fonction inverse àe^y c'est-à-dire telle que *"'*(*x)=x, nous voyons que, l'équation (2) pouvant s'écrire ♦x = c, on en tirera x = ♦""*€. Le problème consiste donc à déterminer cette fonction inverse *""*.

Remarquons en passant que les opérations *~' et * sont commutatives, ce que nous exprimerons symboliquement par la relation

Principales propriétés des fonctions «. — Fonctions conjuguées.

120. Toute fonction ♦, définie par le premier membre de l'équation (2), jouit évidemment, d'après sa forme même, des propriétés suivantes :

2® rf*x= *rfx; cette propriété est une conséquence immédiate de la précédente.

3" *ax = a*x, a étant une quantité réelle.

121. La fonction *(*x) sera représentée par «^x. De même l'application, n fois répétée, de l'opération représentée par cette fonction * sera désignée par *''x.

Par analogie ♦"* (*~'x) = *~^x, et en général nous aurons le symbole «""x.

— i8a — Il est clair que

l'ordre des opérations n'influant d'ailleurs en rien sur le résultat.