Lorsque *'=: *, on dit que la fonction * est

conjuguée à elle-même. S'il n'en est pas ainsi, on a, par la définition (4))

la propriété s'appliquant à tous les vecteurs possibles. Donc, ajoutant avec (4),

ce qui montre que la fonction *-+-*' est toujours conjuguée à elle-même.

De plus,

0x*x = Sx*'x ou 5x(* — *')x = o.

Donc ( * — *') X est perpendiculaire à x, ou

(* — 4»')x = IJdx.

Par conséquent,

*x = |(* H- 4>')x -f- |(<ï> -- <ï»')x = l(<ï> -I- *')x -I- aUdx.

Cela nous montre que toute fonction vectorielle et linéaire de x ne diffère d'une fonction conjuguée à elle-même que par un terme de la forme Udx.

Si la fonction * est conjuguée à elle-même, le vecteur D s'annule évidemment.

L'application successive des deux opérations *, T, répondant à des fonctions vectorielles et linéaires, a pour résultat une nouvelle fonction linéaire et vectorielle, comme on le voit immédiatement par le calcul en développant les termes.

Cela étant, la fonction 4»*', comme * -f- *', est conjuguée à elle-même; car, d'après (4),

Sx*<λ'y r=r Ô*'y*'x = S*'x*' Y ~ Sy**'x.

Remarquons enfin que la fonction * -4- ^ est vectorielle et linéaire, comme*, et que sa conjuguée est^'-f-gr* si celle de * est *'.

Nous bornons là, pour Tinstant, l'énoncé des nombreuses et intéressantes propriétés que possèdent les fonctions *.

Inversion de la fonction «. — Première méthode.

124. Tout vecteur, en général, peut s'exprimer par la somme de trois vecteurs non coplanaires quelconques, multipliés par des coefficients réels. Or x, *x, *^x sont généralement non coplanaires. On pourra donc exprimer le vecteur *^x sous la forme

Si l'on opère sur cette relation par *~*, c'est-à-dire sî l'on remplace x par *~' x, on aura

*'.X z= >*-*X + pX -h V*X, (7) — ^*~*X =: fJtX H- V*X — **X.

La fonction *~* se trouve donc exprimée ainsi au moyen d'opérations directes.

Les quantités réelles X, jz, v, indépendantes dex, pouiv ront se déterminer en remplaçant successivement x par trois vecteurs connus quelconques, et en résolvant les trois équations résultantes.

125. Il reste à voir que cette solution générale s'applique également aux cas particuliers qui peuvent se présenter.

Tout d'abord, si *x est parallèle à x, et par consé-

quent de la forme /rx, on aura «'x = A'x, c'est-à-dire la relation (6) lorsque fx et v sont nuls.

Si X, *x, ♦^x sont coplanaires, on peut écrire

d'où

ce qui rentre encore dans la formule (6), dont l'usage est ainsi tout à fait général.

Si dans Téquation (7) on avait X =: o(/x^o), on aurait, en opérant encore par *""*,

— |jl*~"*X = vx — ♦x.

Si X = 0, /ut = G, il vient enfin

EXERCICE