Soient l, m deux vecteurs tels qu'on ait (8) *x — IIlm

on lire immédiatement de là

0L*X = O, j6m*x = o, et, par l'introduction de la fonction conjuguée *' (122),

Le vecteur x est donc perpendiculaire à *'l et à *'m,

c'est-à-dire à Taxe du quaternion ♦'l *'m. Ainsi ^

(9) iiix = II*'l*'m.

Or, d'après la relation (8), x = ♦"' t^LM; donc

(10) /«♦-*tli.M = b*'L*'M.

Il s'agit à présent, pour tirer de là l'inversion de *, de déterminer la constante m et d'exprimer le second membre en fonction du vecteur Ulm.

Soit N un vecteur quelconque, non coplanaire avec L et M. Opérons sur (10) parB.^'uX, en tenant compte des relations précédentes et de la propriété fondamentale des fonctions conjuguées ; nous aurons

De là .

Celte quantité m est indépendante des valeurs particulières de L, M, N. En effet, si on remplace l par l 4- ^m, le numérateur et le dénominateur restent séparément invariables. Donc on peut ainsi, par des modifications successives, amener les vecteurs l, m, n à trois valeurs quelconques, sans que m soit altérée.

Changeons maintenant* en* -|-g^ dans l'équation (10), g étant un nombre réel quelconque. Si nous appelons nig ce que devient la constante /zipar cette transformation, nous aurons

— i88 en posant pour Tinstant

sauf à étudier tout à l'heure ce qu'est cette fonction Y D'après la relation (ii), nous avons

m^ et m^ sont deux nouveaux coefficients réels, dont les valeurs

/7îjr=: —- -^

. ^LMN

(lA) <

i J6i(MN*'L-*-NL* M-f-LM*'N)

\ ' JS lmn

sont, tout comme m, indépendantes de l, m, n.

Actuellement, substituons à m g sa valeur dans la relation (12), puis opérons par *-hg^, et il nous restera l'égalité

(m+ /Wj^-I- W2g'«-|- g^)\^lM.

c'est-à-dire, en supprimant les termes identiques et identifiant les coefficients de g et de g-^, que nous aurons les deux égalités symboliques

La seconde nous donne T == /712 — * et nous montre, en conséquence, que la fonction ^ est, elle aussi, vectorielle linéaire.

De plus, l'élimination de ^ entre les deux équa-

lions (i5) donne

(i6) ;n*-* = /?îj — //!,* H- *'.

Cette dernière équation symbolique nous fournit la solution complète des équations vectorielles linéaires par la méthode d'Hamilton, que nous venons d'exposer.

127. Tout le problème, on le voit, se ramène à la détermination des valeurs réelles m^ m^y m,. Lorsque ces coefficients sont déterminés, l'équation symbolique (i6), et par conséquent

(17) *' — /Wj**+/Wi* — /w = o,

est satisfaite, c'est-à-dire qu'on a

(18) (*' — /n,**-h/nj* — w)x=::o,

quel que soit le vecteur x.

Si nous formons l'équation du troisième degré

et que nous en appelions les racines ^i, ^2» ^Z'i l'équation ci-dessus pourra s'écrire sous forme symbolique ;

Directions principales.

128. Cherchons la condition pour que x soit parallèle à *x, c'est-à-dire pour que l'opération * appliquée à un vecteur n'en altère pas la direction. Nous devrons avoir

(21) *X = ZX ou tix*Xr=0.

— igo —

Delà

et par conséquent, en substituant dans Téquatlon fondamentale (i8),

si bien que z doit être Tune des trois racines Jo'^2î^3 de l'équation (19).

L'une de ces racines au moins est réelle, puisque l'équation est du troisième degré. Supposons pour un instant qu'elles le soient toutes les trois.

La solution du problème sera donc donnée nécessairement par l'une quelconque des directions Xi,^2 7X3 qui satisfont aux conditions

{11) (*--Ji)Xi = 0, (*— ^j]Xj = 0, {^ — s^]Xi=o.

Décomposons x, vecteur quelconque, suivant ces trois directions Xj ,X2j X3, que nous appellerons directions principales. Nous aurons

(23) X = «1X1-4- «jXj-t- «3X3.

Opérant par * — Si, en tenant compte des conditions (22),

( * — J.1 ) X =r aj (.^2 — Ji ) X2 -f- «3 (^3 — Si ) X3.

Ainsi, l'opération * — s^ fait perdre à un vecteur x quelconque sa composante parallèle à X|.

Opérant de nouveau par * — jj, il vient

(* — J,)(* — 52)X ==«3(^3— .V2);.f3 ~.Vi 1X3,

et de même

(*— ^2)(*— 53)x = «i(ji— .Vj)(.Ç,— .ÇjjXj.

Les trois directions principales sont donc fournies par les expressions suivantes, quel que soit x,

(25) I (* — Ji)(*-53W,

toutes les fois que les racines s^, ^2> «^3 sont inégales.

Il importe d'établir qu'on aura bien ainsi toutes les directions. En d'autres termes, il n'y a pas deux directions différentes qui puissent donner, par exemple,

(*— Jl)Xi— O, (* — J,)yi=::0.

En effet, si une pareille direction y< existait, en dehors de Xi, nous décomposerions x suivant Yi,X2 et X3, et, formant la quantité ( * — J^s ) ( * — ^3)^7 comme cidessus, nous aurions

(* — 5î)(* — .Ç3)x=r(3i(.çi — 5,)(ji — ^aJY,; d'où l'identité

(26) «1(^1— 5,)(ji-53)Xir=r|3i(5i— ^2)(jl — JaJYj,

qui ne peut subsister, Xi et y^ ayant des directions différentes, qu'autant qu'on a

Si =■ s^ ou Si z=z 53,

c'est-à-dire que si les racines ne sont pas différentes les unes des autres.

Prenons maintenant l'hypothèse de deux racines égales, Si = s^ par exemple. Si nous opérons par * — s^ sur l'équation (aS), nous aurons

(27) (.* — .^2)x:zi:«l(fl-- J,)Xi,

en admettant que la direction X3 satisfasse, comme Xs, à la condition *x = ^jX.

Doiic la direction Xi sera donnée par (^ — 53) x, quel que soit X.

Si nous opérons au contraire par * — s^ surcette même équation (^3), il vient

(28) (*--.ïi)x = (5,— Ji){«,x,-hajX3).

Ainsi, un vecteur quelconque v dans le plan (X2X3) est donné en direction par (* — .^i)x, quelque soitx. 11 est d'ailleurs évident que tout vecteur dans ce plan satisfait à la condition (* — ^2) v = o.

Enfin, si les trois racines 5i, 5,, 53 sont égales, il est clair qu'en opérant par * — s^ sur l'équation (23), on

obtient

(* — Ji)x = o,

c'est-à-dire que tout vecteur de l'espace est une direction principale.

Dans le cas où deux racines seraient imaginaires, on n'aurait plus qu'une seule direction principale au lieu de trois. Les autres, substituées dans les formules (25), donneraient, comme directions, des bivecteurs {* ).

129. Dans le cas où les racines de l'équation (19) sont réelles et inégales, les trois directions principales Xi, X2, X3 forment un trièdre, que nous pouvons appeler trièdrc principal.

Puisque nous avons identiquement (* — ^j)xi=o, nous aurons aussi

(29) 0x(*--^i)xi = o,

(') Hamilton ot Tait dési[fnent respectivement par Uvecteurs et biqua-

ternions des expressions de la forme K-\-^yJ — i et y/-+- B^ — i, ^ — i étant l'unité ima£[inaire de l'Algèbre ordinaire.

— 19^ — quel que soit x; ç'est-à-dire, en verlu de la relation (4)

(3o) ^Xi(*' — 5i)x = o.

Ainsi, toutvecteurde laforme (*' — Si)x est perpendiculaire à Xi. De même, tout vecteur (*' — ^2)^ est perpendiculaire à X2.

Par conséquent, le vecteur (*' — ^i){^' — ^2)'^* doi^t nous désignerons la direction par X3, est à la fois perpendiculaire à Xi et X3.

De même les directions

ou Xg et x', sont perpendiculaires aux plans (X1X3) et (X2X3) respectivement.

Le trièdre formé par x'^, Xg, Xg est donc supplémentaire du trièdre principal. Nous pourrons l'appeler trièdre principal conjugué. C'est le trièdre principal de la fonction ^^ et il est manifeste que le premier est, réciproquement, le conjugué du second.

130. Supposons maintenant que la fonction considérée * soit conjuguée à elle-même. Nous allons démontrer qu'alors les trois racines de Téquation (19) sont nécessairement réelles.

Soit en effet s^ -4- ^i y' — i Tune de ces racines, et appelons Xi -4- Yi y' — I la valeur qui en résulte, en vertu de la première équation (24)» pour le bivecteur correspondant.

Nous aurons, en vertu de la première relation (22),

*(xi + Y|V^— i) = (ji+ ^jy'"— i)(xi + yi^'^), relation qui se dédouble de la manière suivante :

4» Xi 1= 5, Xj — /i Yi, * Yi = 5i Yi -t- t^ Xj. L. — Quateriiions, l3

Opérant respectivement par Jô. Yi X et 6.XiX, puis retranchant membre à membre, nous aurons, en appliquant la formule (4 )y

Xi et Yi ne s^annulant pas tous deux, il faut donc fi= o, ce qui démontre bien la réalité des racines de Féquation en s,

131. Soit toujours une fonction * conjuguée à ellemême et appelons comme ci-dessus Xi, X2, Xs les directions principales, qui seront toujours données par la même méthode, mais qui, toutes trois, seront ici nécessairement réelles.

Nous aurons encore Féquation (29), mais nous en déduirons, au lieu de (3o),

(3i) 10xi(*-*jx = o,

quel que soit x.

Or, d'après les formules ( aS ), les directions X2 et X3 sont de la forme (* — Si)x. Donc Xi est à la fois perpendiculaire à X2 et à X3. On établirait de même que Xj est perpendiculaire à X3, et Ton voit, par conséquent, que le trièdre principal est Irireclangle. Il est d'ailleurs évidemment identique avec son conjugué.