Si Ton écrit encore x, comme plus haut, sous la forme

on aura

*x = aj*Xi + a2*x,-h «a^^a»

c'est-à-dire, à cause des relations (22),

(3l) *X=:.Çia,Xi -f-^2«,X8-h^3«3X3 .

— *9^ — On pourra donc, en vertu de la relation (21) du Chapitre IX (p. 169), en prenant pour a, b, c les trois directions principales, mettre toute fonction vectorielle linéaire sous la forme

(33) *x = J1X16X2X3X 4- -ïjXjBxjXiX H- s^x^SxiX^x,

Si Ton adopte pour directions des unités imaginaires ii,it,i8 les trois directions orthogonales Xi,X2,X3, dans le cas d'une fonction conjuguée à elle-même, on pourra mettre cette fonction sous la forme

(34) *X = — liIiBliX— s^i^Bi^x — *3 13613 X.

Il est possible de tirer de là une transformation importante et de mettre la fonction considérée sous la forme

(35) *x = /x-4-/^it'(ii-f- /M3)x(ii — «la)»

En développant le second membre, après avoir remplacé X par «il, -f- «212+ «3i3> remplaçant *x par

puis identifiant, on trouve par un calcul facile *

Siz=: l — m — m/1*, *, = / -f- m — /n/i', ^3 = / -f- m -h mn*.

Delà

Si — Si 2 2

On a donc une valeur réelle pour n si l'on a choisi pour ij et I3 les directions principales correspondant à la plus grande et à la plus petite des trois racines de l'équation en s.

— 19^ — Cette transformation a de Tintérét au point de vue des applications géométriques.

EXERCICES