Résoudre l'équation

A0BX -h a'0b' X + a^Bb^'x = c.

Cette équation peut être regardée comme le type des équations linéaires vectorielles. Toute équation de cette espèce peut être ramenée à cette forme, comme on le reconnaît facilement en décomposant x suivant les trois directions b b' W, b n" b, t) bb' , non coplanaires.

TjC premier membre étant désigné par ^^'x, nous aurons

*'x=B6AX+B'5A'x + B"jeiA''x.

Prenons pour l, m, h les trois vecteurs a, a', a''. Alors

*'a ==:B0AA -f-B'6A'A 4-b"0a"a,

*'a' = b0a'a -f- b'0aV + b"j8a''a',

Delà

S(4»'a'.*'a'.4»'a'') = Sbb'b''

0AA s a' A fàhfx

Bk'k 5 a' a' BàTh!

Bx"/, Bk'K" fokTK''

En calculant le déterminant, on trouve qu'il a pour valeur

-0A[A0(A'A''llA'A")-f-A'0(A"AtlA''A)H-A''0(AA'llAA')].

La quantité entre crochets, comme on peut le reconnaître par le calcul, est égale à

-.0[All(A'A"0AA'A")]=-(0AA'A")^

Par conséquent.

=:-0AA'A"0Be'B^

Formant aussi les valeurs de rrii et /tij, on trouve

/7îj = 0(ab + a'b'h- a^'b").

On a ainsi, pour la solution cherchée, — 0aa'a''.Sbb'b".x

— -0(»A'A"tiB'B"-|-bA"AbB''B4-l3AA'tiBB')

— 0'( AB 4- a'b' -h a"b") *c + *'c, ou encore, les calculs effectués,

0AA'A''Jl5BB'B^X~bB'B"0A'A''c + bB"B0A''AC4-UBB'0AA'c.

On serait arrivé beaucoup plus facilement à ce résultat en opérant successivement sur Téquation donnée par 0a'a"X» A5a"aX, 0aa'X.