JO GENTY. — APPLICATIOSS MÉCANIQUES DU CALCUL DES QUATEBNIOWS

OU, en élevant au carré et tenant compte de l'équation ( 34 )•

d'où enfin

yi /»t

\ (tR)^

équation de la focale (3 1 ).

On démontrerait de même que les résultantes uniques rencontrent toutes la focale située dans le plan

^xi'3 = o.

Enfin, on voit sans peine que les plans tangents aux focales aux deux points où elles sont coupées par une droite sont rectangulaires.

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de manière à obtenir avec une surface donnée le contact de l'ordre le plus élevé possible. »

Le nombre des conditions à vérifier pour une osculation d'ordre /i**'*"'^

est — — ^-^ -i le nombre des coefficients disponibles dans l'équa-

tion générale d une surface de degré m est ^^ ^ — i .

Par conséquent, une surface de degré m n'est osculatrice en un point arbitraire d'une surface donnée que dans les cas où l'on peut trouver un nombre entier et positif n propre à vérifier l'équation

(i) m'-h6/n^-hiim = 3(n -h i)(/i -h 2).

Quand cette condition n'est pas vérifiée, on peut encore, dans certains cas, déterminer une surface de degré m osculatrice en certains points d'une surface donnée, en disposant d'une ou de deux coordonnées du point de contact, de manière à vérifier une ou deux équations de condition ; si l'on ne dispose que d'une seule coordonnée, la surface de degré m peut être osculatrice en tous les points d'une ligne tracée sur la surface donnée; si l'on dispose de deux coordonnées, la surface de degré m ne peut être osculatrice qu'en des points déterminés. L'équation à vérifier est

{*i) /^^*-^-6m^-hlI77^-f-6 = 3(/^-hI)(/^-l-2)

dans le premier cas, et

(3) m^-4- 6/n^-4- ii/7H-i2 = 3(/iH-i)(/i-i-2)

dans le second. Nous nous bornerons à discuter l'équation (i).

3. Pour chaque valeur du nombre n qui exprime Tordre d'osculation, il ne peut y avoir qu'une seule valeur du degré m de la surface osculatrice, et ce degré croît avec l'ordre du contact. On déduit en

SDR LES SUBFACF.S OhCULATRICES. 7'i

efTet de l'équation (i)

3(7n H- i)^ = {m^-h 6/w*^ -h iim) -h 2m^-f- 3m^— 27w -h 3

m-hl>v(/^-M)(/^4-2).

Toutefois le degi'é de la surface croît moins rapidement que Tordre d'osculation. Pour m = i, on trouve /i = i Le plan peut donc avoir une osculation du premier ordre en un point quelconque d'une surface donnée. Pour m = a, l'équation (i) est impossible en nombres entiers, mais on vérifie l'équation (2) en faisant /i = 3. Ainsi une surface du second degré ne peut pas être osculatrice en un point arbitraire d'une surface donnée, mais elle peut le devenir en des points dont les coordonnées satisfont à une équation de condition. Pour /n = 3, les équations (1) et (2) sont impossibles, mais on satisfait à l'équation (3) en prenant n = 5. On conclut de là qu'une surface du troisième ordre ne peut être osculatrice à une surface donnée qu'en des points dont les coordonnées vérifient deux équations de condition; l'osculation est alors du cinquième ordre. On trouve de même qu'une surface du quatrième degré ne peut être osculatrice qu'en des points dont les coordonnées vérifient deux équations de condition, et que l'osculation est du septième ordre. Enfin, en faisant /w = 5, on trouve que l'équation (i) est résolue par la valeur n = 9. C'est, avec le plan osculateur, la seule solution connue de notre problème. Il aurait fallu poursuivre ces essais jusqu'à la valeur m = 20 pour trouver une nouvelle solution ; on aurait vu que l'équation (i) est vérifiée lorsqu'on y fait m = 20, n = 5S. On pourrait, par des essais successifs, trouver toutes les solutions en nombres inférieurs à une limite assignée, mais les calculs seraient fastidieux si cette limite était tant soit peu élevée. Nous verrons plus loin qu'on peut parvenir au même résultat par une méthode beaucoup plus expéditive. Mais, avant d'aborder cette question, nous établirons quelques théorèmes généraux sur les diverses formes (|ue le nombre m peut affecter.

Jouni. de Math. (3« série), tome VU. — Mars 1881.

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