En écrivant l'équation (i) sous la forme

on voit que tous les facteurs premiers impairs de n-hi et de n -h 2 qui ne sont pas diviseurs de m sont de Tune des deux formes 8/ -h 1, 8/ -f- 3, puisque — 2 en est résidu quadratique. Si m est impair, le produit (n -h i)(/i -h 2) est impairement pair; si m est pair, le quotient

{n-hi){n-h9i) ^.

— est impair.

Nous distinguerons deux cas, suivant que m est premier avec 3 ou multiple de 3. Dans le premier cas, nous poserons m = hk, en désignant par h le plus grand diviseur commun des deux nombres m et n -h 1, par k celui de m et n -h- 2. Nous déduirons de Téquation (i)

en désignant par/> et q les deux quotients — r — » — r— ■• Ces deux quotients sont des nombres entiers dont tous les facteurs premiers sont de Tune des deux formes 8^-1-1, Sx -h 3.

Si le nombre m est multiple de 3, nous posons m = Zhk^ h désignant

le plus grand diviseur commun de -^ et de /i -h i, ^ celui de -, et de 71-^-2; puis nous déduisons de Téquation (i)

(3) ç^^hk^\y^2 = —^ — v^Pi-

Dans les deux cas, les quatre nombres h, k^ p et q sont liés entre eux par la relation

(6) kq-'hp=i.

Au moyen de ces formules nous démontrerons que les valeurs de m propres à vérifier l'équation (i) ne peuvent être ni des nombres pre-

76 p. PEPIN.

positifs. Si donc Téquation (7) est possible, les valeurs dep vérifient la condiion

Les valeurs de p comprises entre —^ei -^ sont ±12, ±3, car, si Ton suppose y» = =fc i , les racines de l'équation (7) sont imaginaires. Soit /> = — 2. L'équation (7) devient A' — 6A -h 5 = o, et Ton en déduit

Si Ton prend /? = 2, les valeurs de h sont irrationnelles. Il en est de même pour/? = — 3; mais, en faisant/) = 3, on obtient l'équation

dont les racines sont 20 et i .

Nous trouvons ainsi trois solutions de notre problème : m = i, 5 et 20. Comme, pour les deux premières, la valeur de p est négative, — 2, nous devons déterminer la valeur correspondante de n par la formule /i H- I = — A/? = 2A, ce qui donne n = i pour A = i et n=^ çf pour A — 5. Ces deux solutions (/n = i,/i = i;m=5, ^ = 9) sont connues. ]ji troisième [m = 20) me semble nouvelle. Comme elle correspond à une valeur positive de />, on doit déterminer la valeur correspondante de n au moyen de la formule wH-2 = A/>; on trouve ainsi 71 = 20 X 3 — 2 = 58.

Il nous reste à examiner si l'équation (7) est possible en supposant /?>3. Les deux racines étant alors positives, désignons-les par h et par /; elles vérifieront les deux relations

Comme la racine entière A divise le dernier terme 1 1 -h 3/?, l'autre racine / est aussi un nombre entier. Or les deux nombres h et l étant entiers et positifs, on a évidemment 2A/> h -h /; donc

78 p. PEPIN.

de sorte que, Tautre facteur étant désigné parc, les trois nombres /i, ç, h doivent vérifier les deux équations

hp — q = zti^ (3A-+-3)*-f- 2 =pq=p{hpzjfz i).

Comme dans le cas précédent, on peut ne conserver que le signe supérieur, en convenant d'accepter les valeurs négatives de pet de déterminer n par la formule n + 2=ph si p est positif, et par la formule n-h i = —ph sip est négatif. Sous cette restriclion, nous n'avons plus qu'à chercher les solutions en nombres entiers de l'équation

(8) c)A^-(/>^-i8)A-f-ii-f-/> = o.

On ne peut pas supposer /> -4- 1 1 < o, car, en posant dans cette hypothèse/? — --y»<, />| serait un nombre entier et positif. Comme le nombre h est positif et diviseur de /> -f- 1 1 = — (y»| — 1 1), on ferait Pi -^ Il = hl, l désignant un quotient entier et positif, et Ton déduirait de la formule ( 8 )

gh - /=/)? - 18, 9^/= gp, - 99 == /(/)? - 18 -f- /).

Comme / est entier et positif, on déduirait de la dernière formule

ce qui est évidemment impossible.

La somme/? -f- 1 1 est donc positive. Soit donc/? -h i i = A/; le nombre / est entier et positif; de plus, l'équation (8) divisée par A donne

Si Ion suppose /= 1, on déduit des deux formules précédentes, 9^=/,»- 19 .= 9/, -h 99,

Z'" — 97^- ïï8 = o.

Ho P PEPIN.

Relativement a la question géométrique proposée, nous avons ce théorème :

III. Aucune surface de degré triple d'un nombre premier ou d'une puissance de nombre premier ne peut être osculatrice en un point arbitrait e d'une sur/ace donnée.

7. 1.e facteur commun du nombre m et de l'un des deux nombres n-f-i ou /i -f- 2 peut-il être une puissance de 2? La solution de cette question renferme implicitement celle de la question suivante : le nombre m qui satisfait à l'équation (i) peut-il être de la forme 2^ A*, A désignant un nombre premier impair? Car, sim = 2^ A* et que m ne soit pas premier avec l'un des deux fadeurs « -4- 1 , /i -f- 2, le nombre 2^ sera le plus grand diviseur de m et de l'un des deux nombres //-i-i, // -h 2.

Nous distinguerons deux cas, suivant que m sera premier avec S-oii multiple de 3. Dans le premier cas, on aura les équations

( 2^A -h 3)^ H- 2 = 3/?^, n -h î = 2^/7, n -h 2 = hq,

ou bien

/i -f- I = hq^ H -{- 1^= 1} p.

L'élimination du nombre n donne l'une des deux équations

hq — 2^/? = ±: I .

Multipliant celte équation par 3^ et remplaçant ipq par l'expression donnée dans la première formule, on a l'équation

(9) 2»^A^ - ^q^ - 2^^^*)A -h 1 1 . 2^ di 3^ = o.

Soit d'abord X = 1 . L'équation à résoudre devient (A) 8A^ - 3(y^ - 8)A -H 22 ± 3y =r o.

I** Si 22 ± Zq est > o, comme le nombre h doit être diviseur du

sun LES SURFACES OSCULATRICES. 8l

dernier terme, nous poserons

(le sorte que l'équation ( A ), divisée par A, donnera

Le nombre /est entier et positif; on déduit de Téquation {a) qu'il est premier avec 3 et de Téquation {b) qu'il est de la forme 8| -i- 3. D'ailleurs, le nombre h est un nombre impair supérieur à 3. Le produit hl est donc supérieur à la somme 8 A -h /, de sorte que Ton a

22 it 3^^ > 3y^ — 24, 3y* zp 3y — 46 < o.

La valeur de ±q doit donc être comprise entre les deux racines du

trinôme o:^— â? — ^> et par conséquent entre les deux nombres 3 et

— 2. Mais l'équation {b) exige que q^ soit >8. L'équation (A) est donc impossible dans l'hypothèse admise.

2*^ Soit 22 dz 3^ < o, ce qui exige qu'on prenne le signe inférieur et ([ue l'on ait 3q > 22. Posons 3^— 22 = A/; l'équation (A), divisée ))ar hj donne

r>es deux nombres A et / sont entiers et positifs, et l'on déduit de la dernière équation que le nombre / est de la forme 8|-l-5. Enfin de

r hypothèse ^> y on conclut

?'>49, Sh-l>o et 8A-/<8A<2//i.

On a donc

ce qui est évidemment impossible. Ainsi, quel que soit le signe adopté

Joitr/i. de Math, (3« série), tome VII.— Mars i88i. ' '

8a p. PEPIN.

dans l'équation (A), il est impossible de la vérifier par des valeurs entières et positives de h et de p. Donc :

I. U équation (i) n admet aucune solution où le plus grand diviseur (ommun de m et de run des nombres /i -i- i , n H- 2 soit égal à 2.

Or cela aurait nécessairement lieu si le nombre m pouvait être de la forme 2 A*, A désignant un nombre premier supérieur a 3, car, le nombre m ne pouvant être premier avec aucun des deux facteurs /i-f- 1 , «4-2 (n® 5, 1), l'un de ces deux nombres aurait avec m le nombre 2 comme plus grand commun diviseur. Donc :

II. /.e degré d'une surface osculatrice en un point arbitraire dune surface donnée ne peut être égal au double d'un nombre premier supérieur à 3 ni au double d' une puissance d'un pareil nombre.

8, Reprenons l'équation (9} et montrons que, si X n'est pas supérieur à 4, on ne peut pas supposer 1 1 . 2^ dz 3^ < o. Dans cette hypothèse, il faut prendre le signe inférieur et faire S^r > 1 1 . 2^. Posons

[a) 3y— ii.2^=A/; l'équation (9), divisée par /i, donnera

/ désignant aussi bien que h un nombre entier et positif. On déduit de la dernière formule que l doit être de la forme 8 a: -f- 5 et de l'équation (a) que ce nombre est premier avec 3.

En multipliant l'équation (a) par 3^^ -h 1 1 . 2^ et l'équation {b) par 3, on obtient les deux formules

dont la comparaison donne l'inégalité

/(3y-|-II.2^)<3.2»>,

84 p. PEPIN.

dont les solutions sont données par la formule q = 2*0 ±: 21'] si l = i^ et par la formule q = 2*0 ±: 209 si /= 29. Mais, comme le nombre q ne peut être de la forme 807-1-7, on doit exclure les signes inférieurs.

On déduit aussi de Téquation {d)

Sç'E^i 1.2* (mod. /)

Si /= 1 3, on en déduit

q=u*0-h2\']^-^.\i (mod. i3), 0= i3|-h6.

Si /= 29, on a

3q = 2*30 -h 627 ^=17 1 1 . 16 (mod. 29), = 2g^-{-5.

Enfin^ comme la somme des trois derniers termes de l'équation {d est positive, il faut que la somme des deux autres soit négative, ce qui exige que Ton ait

/ly<2'*, /(2^5 -i- a)< 2*^ (a — 217, 209).

On a donc a fortiori

et, par conséquent, C < 2 si /= i3, 5 < i si /= 29. Or cela est impossible, puisque ne peut être inférieur à 3. Ainsi, dans les deux cas énoncés, l'équation (rf) n'admet pas de solution entière, ce qui justifie la conclusion du numéro précédent.

10. Examinons si l'équation (9) peut élre résolue en supposant 1 1 . 2^ ±1 y > o. Nous ferons

[a) J 1.2^ ±:3q = hl,

SUR LES SURi^AGES OSCULATRICES. 85

et nous déduirons de Téquation (9), divisée par A,

On conclut de la dernière formule que / est de la forme Sa? -h 3. On ne peut pas prendre le signe inférieur dans l'équation (a), car

avec ce signe on devrait vérifier l'inégalité q < ~T~' Mais on déduit de l'équation {b)

de sorte que le nombre q serait compris entre les deux limites ce qui exige, avant tout, que l'on ait

Comme le nombre A ne peut être inférieur à 5, il faut que X soit inférieur à 3. Soit X — i. Puisque l'on a A>5, 2A-+-G>i6, et Ton déduit de la formule (c)

I>e nombre q devrait donc être égal à l'un des deux nombres 5 ou 7, ce qui est impossible, puisque — 2 est résidu quadratique de q. Soit X = 2. On aura

2^A-h6!26, et la formule {c) donnera

Le seul nombre impair compris entre ces deux limites est i3; or,

86 p. PEPIN.

— 2 n'étant pas résidu quadratique de i3, la valeur y = i3 est inacceptable.

Ainsi, quelle que soit la valeur de X, on doit prendre le signe supérieur dans les équations (9) et (a).

I/éliminalion de q entre les deux équations (a) et [b) donne

Â^/^- 22.2^/4- io3.2*^~2»^3Â- 3/= o.

Nous déduisons immédiatement de cette équation qu'on ne peut pas supposer /<2*^^', car, dans cette hypothèse, il faut que les deux racines de l'équation en /soient de même signe, sans quoi on aurait

ce qui est impossible, X étant inférieur à 5 et A supérieur à 5. Or, si les deux racines de l'équation en /sont positives, on a

SiX > 2, on a

ce qui est impossible. Si X = 2, A est < 9; enfin si X = 1 , A est < 18. Comme le nombre h est au moins égal à 5 et premier avec 3, il n'a que l'une des valeurs 5, 7 si X = ^ et l'une des valeurs 5, 7, j 1, i3 et 1 7 si X = I . Or, on reconnaît aisément que ces valeurs sont inadmissibles. En effet, prenons l'équation (9) sous la forme

en y faisant X =: 2 et A = 5 ou 7, on obtient les deux équations 5q^ — q=z/^.3.5c), 7^^—9 = 4.3.107,

qui ne peuvent être vérifiées en nombres entiers. De même, si Ton fait X = I dans Téquation [e) et qu'on y substitue les valeurs 5, 7, 1 1, i3

SCR LES SURFACES OSCL'LATRICES. 87

et 1 7 de A, oil trouve

5^^-^ = 2.3.19, -jq^-q^ 2.97, I iq^ — q :=^ 2.209, I'iq^ ~- ç = a 281,

nf ^V "^ i.457.

Or, ou constate saus peine Tinipossibilité de ces equations eu nombres entiers; comme 97, 281, 457 sont des nombres premiers (*l cjue q doit être impair, ce nombre ne pourrait recevoir que Tune des deux valeurs i ou 97 dans la seconde équation, Tune des valeurs i ou 281 dans la quatrième et l'une des valeurs i ou 457 dans la dernière, ce qui est manifestement impossible. Dans la troisième équation, q devrait être multiple de 1 1 ; on aurait donc

ce qui est impossible. Enfin, dans la première équation, on ne peut donner à q que l'une des deux valeurs 3 ou 19, et l'on reconnaît immédiatement que ces valeurs ne vérifient pas l'équation.

Si donc Téquation (9) est possible, on doit supposer /> 2^^^*. Or, dans ce cas, 2'(i 1.2^4- 3y) = 2^ /A > 2. 2'^ A; si donc /< 2*^ A, on a

2^lh > 2»U -f- A

et, si /> 2'^A, on a a fortiori

2VA>2/>2»Vi-h/.

La comparaison des deux formules (a) et (6) donne donc

1 1. 2^*^-1- 3.2^y <; 37*— 6. 2^^, 3y'— 3.2^y — 2^^\ 17 < o Cette inégalité peut s'écrire

88 p. PEPIN

et Ton en déduit

D'ailleurs on déduit de la formule {b), en ayant égard à l'inégalité I.e nombre q est donc compris entre les deux limites

ce qui exige, avant tout, que Ton ait

Comme le nombre h ne peut être inférieur à 5, il faut que X soit égal à I . Dans ce cas, le nombre q doit être compris entre 4 ^t 6, c'est-à-dire qu'il doit être égal à 5. Mais cette valeur est inadmissible, parce que — a est résidu quadratique de q. Ainsi, dans toute hypothèse, l'équation (q) est impossible lorsque l'exposant X est inférieur à 5.

H. Le résultat obtenu dans les quatre numéros précédents peut s'énoncer de la manière suivante :

1. Parmi tes valeurs de m propres à vérifier l'équation (i), il nen est aucune qui soil première avec 3 et dont le plus grand diviseur commun avec l'un des deux nombres n -f- 1 , /i -h 2 soit égala 2, 4» 8 ou iG.

En réunissant cetle conclusion avec le théorème I du n" 5, on reconnaît que les formules 2 A*, 8 A*, 16 A* ne renferment aucune valeur de m propre à vérifier Téquation (1) et que la formule 4 A" n'en renferme qu'une seule, m = 20. En effet, le nombre m étant diviseur du produit (/i -f- 1) (/i -4- 2), dont les facteurs sonl premiers entre eux,