SUR LES SURFACES OSCULATRIGES

il faut OU bien qu'il divise Tun des facteurs et qu'il soit premier avec l'autre, oubien qu'il se décompose en deux facteurs premiers entre eux. Dans le premier cas, il résulte des n®* 5 et 6 que le nombre m ne peut avoir que l'une des trois valeurs i, 5 et 20; dans le second, il est impossible qu'il soit de la forme 2^ A*, X désignant un nombre inférieur à 5 et A un nombre premier supérieur à 3, car alors il ne pourrait se décomposer que d'une seule manière en deux facteurs premiers entre eux, et 2^ serait le plus grand diviseur de m et de l'un des deux nombres n -l- c , /H- 2, ce qui a été démontré impossible. Donc :

11. Si Von désigne par A un nombre premier supérieur à 3, par a un exposant entier et positifs les trois formules 2 A", 8 A*, iG A* ne renferment aucune valeur de m propre à vérifier l équation (i).

HT. La seule valeur de m, propre à vérifier V équation (i), qui soit renfermée dans la formule ^A^, est m = 20.

Relativement au problème géométrique proposé, nous concluons que :

IV. Parmi les surfaces que l'on peut rendre osculatrices en un point arbitraire d'une surface donnée, celle du vingtième ordre est la seule dont le degré soit égal au produit d'une puissance d'un nombre premier supérieur à 3, multipliée par l'un des nombres 2, 4> 8 0£^ 16.

12. Si le nombre m est de la forme 3, 2^ A, h désignant un nombre impair, et si le plus grand diviseur commun de m et de l'un des deux nombres /i -f- r, w -h 2 est égal à a^, l'équation (5) devient

9(2>«A-f-i)^-f-2=^ ^^> l=pq,

et donne lieu à l'une des deux décompositions suivantes :

n -f- I = 2^y, 71-+- 2 = hpj hp — 2^5r = I , n -f- I = Ap, /i-f- a = 2^ y, hp — 2^y = — i .

Le problème de trouver les valeurs de m divisibles par 3 qui véri-

Journ. de Math, (3* série), t. VII. — Mars i88i. 1 2

QO p. PEPiir.

fient Féquation ( i ), de manière que le plus grand diviseur commun de m et de l'un des deux nombres /i -f-i , n 4- 2 soit 2\ revient donc à résoudre en nombres entiers et positifs le système des deux équations

hp — 2^q = ±i^ /?y = 9(a^A -M)*-h 2;

c'est ce que nous allons faire, en nous bornant aux valeurs i , a et 3 deX.

En multipliant la première équation par p et remplaçant pq par sa valeur en fonction de A, nous trouvons

(10) 9.2»^A^-(;}'^— i8.2^^)A-f-(ii.2^it/i) = o.

Nous devons distinguer deux cas, suivant que le dernier terme de cette équation est positif ou négatif.

I ® Soit d'abord 1 1 . 2^ ± /) < o, ce qui exige que l'on prenne le signe inférieur et qu'on suppose /> > 1 1 . 2^. Comme le nombre h doit être diviseur du dernier terme, nous aurons, en désignant par / un nombre entier et positif,

[a] /!-— if.2^== A/,

Nous concluons de l'équation [b) que le nombre/ doit vérifier les deux congruences

l^ — p^ (mod. 8), l^ — p^ (mod. 9),

et que, par conséquent, il est de la forme 24^ -t- 23. Si, après avoir multiplié l'équation [a] par/5-h 11.2^, on la combine avec l'équation (A), on trouve

- io3 . 2^^= A [l{p -h 1 1 . 2^) -9.2'^] -h /,

et l'on en conclut, en ayant égard à l'hypothèse/? > 1 1 . 2^,

^ Il