SUR LES SURFACES OSCULATRICES. 9I

Si >. = I OU 2, le nombre / doit être inférieur à 23, ce qui est impossible. Si X = 3, /est < 32 ; or, la seule valeur inférieure à cette limite qui soit renfermée dans Ja formule 24^? -h 23 est 7 = 23. Faisant donc X =^ 3 et / = 23 dans les équations (a) et (6), et éliminant p^ on obtient l'équation

529A*- iG.35A -4- io3.2«4- 23 = o,

d'où Ton déduit

Comme le nombre h ne peut être inférieur à 3, nous concluons que l'hypothèse est impossible.

15. Soit donc i i.2^zh/? = A/> o. Nous déduisons de l'équation (10)

a) îî.2^àzp = hlj

ib) 9.2^^A-+-/ = /?^-i8.2^\

I^a dernière formule exige que / soit résidu quadratique de 8 et de 3 et que, conséquemment, il soit de la forme 2/10? -h i .

Ou ne peut pas supposer A = 1 , parce que le nombre m serait alors premier avec l'un des deux nombres /i -h î, n-h 2, contrairement au théorème I du n** 6. On ne peut pas non plus prendre A = 3, car, en éliminant /9 entre les équations {a) et (6), on aurait l'équation

9/» - (66.2^-4- i)/-f- 2»''^(io3 - 27.2^) = 0,

dont l'impossibilité se constate aisément de la manière suivante. Ix^ nombre / compris dans la formule 24^ -4- i doit diviser io3 — 27. 2^. Or, en faisant X = i, 2 et 3, on trouve que ce dernier nombre est égal à 49» — 5, — 1 1 3 ; comme aucun de ces nombres n'admet de diviseui* de la forme voulue 24^ -H i autre que i, on devrait prendre /= i, et l'on reconnaît aisément que cette valeur ne satisfait pas à l'équation,

Ain.si, le nombre A ne peut pas être inférieur à 5.

On ne peut pas supposer / > 9 . 2^^, car, en multipliant l'équation (a)

9^ p. PEPIN.

par 2^**"* , on aurait