MÉTHODES GÉNÉRALES EN MATHÉMATIQUES. Ï'J

Or, si © est la fonction qui forme le premier membre de Téquation (i), u sera précisément l'inconnue y, et nous aurons

(G)' F(r) = S«-S,y(iv) + S,[y(«P-)]*-S,[9(iv)]'4-...;

les coefficients 3©, S<, Sj, . . . sont identiques aux coefficients de l'expression (3).

On conçoit maintenant comment, en principe, l'expression (3), pour toute valeur de Wj donne une solution de Téquation (i) d'un genre quelconque. Cependant cette expression (3) peut être convergente ou divergente, ce qui fait que l'on ne doit pas prendre w d'une manière tout à fait arbitraire ; cette quantité doit, au contraire, être choisie la plus rapprochée possible de la quantité cherchée j, puisqu'il semble évident que l'expression (3) doit être d'autant plus convergente que la quantité w est plus près de zéro.

Remarque sur les quantités idéales et absurdes. — Avant d'étudier les conditions de convergence de l'expression (3), nous ferons une observation relative aux quantités qui indiquent des cas d'impossibilité.

Wronski distingue deux espèces de quantités idéales, les quantités infinies et les quantités imaginaires (*). Les premières impliquent expressément l'idée de l'infini dans la considération de la quantité même; les quantités imaginaires, de la forme a -i- byj— \ impliquent l'idée de l'infini dans la considération de la qualité même de la quantité, quahté qui constitue l'état positif ou négatif. Ces quantités sont possibles idéalement et non réellement.

De plus, il existe des quantités absurdes qui ne sont possibles ni réellement ni idéalement. Ainsi l'expression (4) sera impossible dans deux cas : i*' lorsque les coefficients donnés par (4)' seront des quantités idéales, c'est-à-dire imaginaires ou infinies; 2"* lorsque les expressions (4)'» (4)" conduiront à de véritables absurdités.

(^) Pour plus de détails sur ce sujet, nous sommes obligé de renvoyer à l'/zitroduction à la Philosophie des Mathématiques et à la Philosophie de la Tech nie,

Journ, de Math. (3* série), tome VU. — Janvirr i88i. ^

Dans le premier cas, le développement ne peut être exprimé que par des quantités infinies, et Timpossibilité n'existe que par rapport à des quantités réelles; ce développement n'est en défaut que si Ton envisage spécialement les quantités réelles.

Dans le deuxième cas, l'impossibilité est absolue. Si Ton trouve, par exemple, pour les coefficients A„, A,, Aa, ...» des quantités différentes à mesure que l'on change la valeur arbitraire w attribuée à v, le développement est absurde. Pour fixer les idées, si l'on avait pour la fonction (p {y) la valeur

(7) 9(j) = Mo + M,j-MVI,j^-f-...-hM„y,

Mo,M,, M2, . . . étant des constantes, on obtiendrait n valeurs différentes pour chaque coefficient A de (4). Si l'on prend pour w une valeur qui annule le polynôme (7), on a

et, comme il y a n valeurs de iv qui annulent le polynôme, on aurait n valeurs analogues Ajj^, A'^ , A^ , . . . , lesquelles, en vertu de l'identité nécessaire de chacun de ces coefficients avec le premier, donneraient

(7*^) A,t = A.p,= Aj, = . . . ,

ce qui est absurde.

Nous ne parlons pas de la forme indéterminée-? parce qu'elle est

seulement indéterminée et non impossible.

De ce qui précède il résulte que dans tous les cas il suffit de s'en tenir aux expressions (4)', (4)" des coefficients, sans faire attention aux conditions fondamentales du développement (4), car, lorsqu'un tel développement sera impossible d'une façon relative ou absolue, l'expression en question le fera toujours connaître en donnant pour les coefficients A©, A,, A,, . . . des quantités idéales ou absurdes.

H'jj,S', ,S'j, ... étant ce que deviennent les coefficients S., E,,S2, ... quand on substitue ç kiv. Si la quantité w se rapproche de ç^ les coefficients S^, E,, H,, ... tendront respectivement vers les valeurs des coefficients û^, S*, , H'j, ...^ et (p{w) tendra vers f (f'), de sorte qu'à la limite l'égalité ( 8 ) aura lieu terme à terme.

Admettons maintenant que nous prenions pour v la quantité u définie par (5), c'est-à-dire ç(a) = o; ce que nous venons de dire subsiste encore : le coefficient S!^ prend la valeur déterminée

d'^{ti) o o dh{u) I

t/»o(w) d^[o(u)y o (l^V(ii) j

d*o(u) d*[o(u)y ^[?(M)]' cPF{ii) j

d^-'¥(it)\

d^o(ii) d^[o(u)y d^[o{u)y ... d^['^(u)Y^ d^¥{ti) I

i'"i2.>i"»...ii*i»[r/o(//)]»

ta dérivée ^ " étant généralement différente de zéro ; le coefficient 2^,

tend vers S*^, quand w^ se rapproche de u, et ^(iv) tend vers zéro. Or le second membre de (8) se réduit àF(w); cette égalité tendant à avoir lieu terme à terme, il en résulte que F(iv) tend vers F (w) et que la somme des autres termes du premier membre tend vers zéro; par suite, la série est convergente.

Ainsi la condition principale de convergence de l'expression (3) est que la quantité w^ se rapproche suffisamment de w, autrement dit de la quantité/ donnée par l'équation (i), ?(j) = o. Quand cette condition sera remplie convenablement, la série sera convergente même dans le cas de y (w^) > i ; dans ce cas, la convergence sera o[>érée par les coefficients de la série, et, si ç>(m^) <!, la convergence sera opérée de plus par la fonction ^(m^) elle-même. Donc ç{w) <ii sera un critérium de la convergence de la série, puisque les coefficients S tendent, en général, vers des quantités finies et déterminées.

Ce que nous disons de l'expression (3) s'applique aussi à l'expression (2), qui n'en est qu'un cas particulier.

Maintenant, nous pouvons reconnaître que, pour obtenir une solution déterminée y^ de Téquation (f{y) = o, la quantité w doit être

Faisons

. (Ç){rfo(sv)d^F(sv)] - 2— ,i|ii:^li(^/cp(*r)J* '

nous aurons pour expressions donnant des valeurs de Tinconnue de plus en plus approchées,

j = F(tv)-i-A,9)(iv),

A|A,9(<v) + (A ; -A,A3)[cp(iv)]» ^ Aj— A3cp(«')

Ces expressions sont celles que Wronski nomme les progrés de la gênération neutre des quantités.

On obtiendrait des formules analogues, correspondant à Texpression (2), en faisant dans celles-ci Y[w) = w.

Nous indiquerons plus loin en quoi consiste la méthode d'approximation dont nous avons parlé.

Par l'emploi des divers moyens que nous venons d'énumérer, nous arrivons à ce résultat remarquable que la méthode secondaire peut être appliquée dans tous les cas, puisque la convergence des expressions fondamentales est toujours assurée.

Sur la nature de la valeur fondamentale. — Comme nous l'avons vu, cette convergence dépend surtout du choix de la quantité w. Il faut alors considérer deux cas : 1° celui où w est une quantité pincement numérique ; 2^ celui où w est une véritable fonction.

Quand w est une quantité numérique et quand l'équation ( i ,

MÉTHODFS GÉNÉRALES EN MATHÉMATIQUES. viS

9{y) = ^y 6st une équation primitive algébrique ou transcendante, le mode d'application des formules fondamentales (2) et (3) est bien connu; nous ne nous y arrêterons pas.

Si (f{y) = o est une équation différentielle, y est fonction au moins d une variable indépendante a?, et la quantité npprochée ^p ne suffit plus pour déterminer jK, car les différentielles de l'inconnue, qui ne sont plus nulles, entrent dans les expressions fondamentales. 11 faut donc admettre que Ton connaisse des valeurs approchées de l'inconnue et de ses dérivées de diflf*Tents ordres, correspondant à des valeurs données de la variable indépendante ; de cette façon les expressions fondamentales s'appliquent comme dans le cas des équations primitives. Les équations différentielles comprenant des ordres différents d'indétermi/iation par rapport à l'inconnue, la quantité w ne saurait être en général une quantité purement numérique. On doit donc considérer w comme une fonction; c'est en cela que consiste principalement la méthode secondaire.