DIGRESSION SUR LES SERIFS. I I I

Digression sur les séries; Par m. Émius WEST.

Il nous a été fait quelques observations au sujet d'une méthode de Wronski dont nous avons commencé Texposition; elles se résument en ceci :

Pourquoi n'avoir pas donné la démonstration de la formule (3) ?

Que veut dire : transformation d'une série divergente en série convergente?

Nous devons donner d'abord des explications à cet égard. On a toujours reproché à Wronski, avec raison, de n'avoir jamais donné d'exemples pour éclaircir et même prouver par des faits la réalité des découvertes qu'il avail annoncées. Pénétré de cette idée, nous nous sommes proposé de présenter d'abord un des résultats les plus importants, celui de la résolution ou de l'intégration d'équations quelconques ; nous laissons provisoirement de côté tout ce qui se rattache trop particulièrement aux questions de principe ou de théorie, nous réservant de reprendre ces questions, qui forment notre principal travail, dès que nous aurons présenté quelques exemples d'intégration.

La démonstration de la formule (3) exige la connaissance de la théorie des séries de Wronski, théorie que nous exposerons plus lard. Nous ne pouvions donc, sans faire une digression qui nous eut écarté de notre véritable sujet, donner la démonstrjilion de la formule (3). Nous avons pensé que, la formule (2) étant connue depuis longtemps, il suffisait pour l'instant de la présenter, ainsi que la formule (3), en indi-

quant bien que la quantité «^, considérée jusqu*à présent comme un nombre arbitraire, doit encore être prise comme une fonction arbitraire. C est là le point essentiel, que nous demandons au lecteur de vouloir bien admettre provisoirement.

Pour ce qui concerne la deuxième observation, nous aurions dii expliquer le sens dans lequel nous employons l'expression de transformation de série divergente en série convergente; mais cela nous eût encore fait retomber sur la théorie des séries. Sans entrer dans les détails et en nous tenant pour Tinstant aux exemples, voici ce que nous dirons :

Il existe des transformations de séries connues depuis fort longtemps. M. Bertrand dans son Traité de Calcul différentiel (p. 255), dit, à propos d'une formule de transformation due à Euler : « I^ transformation d'ime série divergente, lors même qu'elle donne naissance à une série convergente, doit être considérée comme insignifiante, à moins qu'une nouvelle démonstration ne vienne lui donner un sens; cette démonstration peut quelquefois être faite, parce que la série transformée et la série primitive, étant démontrées égales lorsque toutes deux sont convergentes, fournissent deux développements de la même fonction. S'il arrive ensuite que l'une d'elles devienne divergente pour une certaine hypothèse, l'autre, demeurant convergente, représentera encore la fonction, justifiant en apparence ceux qui prétendraient que l'autre série la représente encore après être devenue divergente, et qui se trouveraient dans le vrai pour avoir commis la double erreur d'accepter une transformation qui n'est plus légitime et une série qui, étant divergente, ne représente plus rien, m M. Bertrand considère ensuite, à titre d'exemple, la série qui donne /(i — 20?). Nous reprendrons tout à l'heure l'exemple de séries logarithmiques.

Ainsi il est connu que Ton peut transformer des séries divergentes en séries convergentes, pourvu que Ton prenne certaines précautions, et quand les développements sont ceux d'une même fonction.

Cette citation suffirait, il nous semble, poiu* justifier ce que nous avons dit, d'autant plus que nous n'avons parlé que de séries provenant de développements de fonctions.

Pour ce qui concerne Wronski, il faut observer qu'il n'envisage absolument que les séries définies de cette manière; quant aux séries qui

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ne se présentent pas immédiatement comme développements de fonctions, par exemple les séries numériques, il les ramène au cas précédent, soit d'après les conditions mêmes de la question, quand cela est possible, soit par ime supposition purement arbitraire. Une série quelconque étant alors supposée remplir une première condition reconnue nécessaire, il est permis de chercher un autre développement de la fonction que représente la série. Or la substitution d'une série à une autre est généralement possible, car Wronski démontre, c'est là encore un point essentiel, qu'un développement ne peut représenter à la fois deux fonctions différentes; il en résulte que deux développements d'une même fonction, sans même considérer leur état de convergence ou de divergence, sont bien équivalents. Cette équivalence peut se traduire par certaines relations entre les termes correspondants, lesquelles ne sont autres que les formules de transformation.

Pour la transformation des séries numériques, les diverses suppositions que l'on peut faire, d'après Wronski, dans la recherche de la fonction hypothétique, conduiront quelquefois à un résultat unique, et quelquefois à des résultats différents, comme on peut le prévoir; nous en donnerons bientôt un exemple.

On peut dire par abréviation qu'une série, convergente ou non, a généralement une valeur, qui est celle de la fonction qu'elle représente, tandis que, en laissant au mot somme son sens ordinaire, la somme d'une série ne se dira que d'une série convergente.

Revenons à la définition des séries. La manière dont Wronski les envisage permet d'éviter les difficultés que l'on rencontre ordinairement dans l'usage de cet algorithme, et ensuite de pouvoir, comme conséquence éminemment pratique, substituer en généi*al à un développement quelconque donné un développement plus convergent.

Examinons donc ce qui caractérise, d'une part, la définition ordinaire des séries et, d'autre part, celle de Wronski.

On donne habituellement la définition suivante :

Une série est une suite illimitée de termes formés d'après une loi déterminée; elle est convergente quand la somme d'un nombre de termes de plus en plus grand, pris dans Tordre même de la série, tend vers une limite déterminée. Une série est divergente quand cette condition n'est pas remplie.

Journ. de Math, (3* série), tome VU. — Avril 1881. î 5

I l4 £. WEST.

Cette définition est insuffisante, car elle ne remplit pas les conditions que toute définition doit remplir; elle n'apprend rien sur la propriété fondamentale des séries, ou, si Ton veut, sur Torigine même des séries; elle n'implique à proprement parler (\n une règle de formation des séries. Aussi n'est-il ordinairement donné que des règles de convergence^ et les propriétés générales que l'on connaît sont déduites de principes étrangers à la définition précédente des séries.

La définition de Wronski est au contraire une véritable définition; elle contient en elle-même le principe fondamental des séries, celui de représenter une fonction; par suite, ce géomètre déduit de ce seul principe leurs propriétés générales, celles qui sont relatives à leur convergence et à leur transformation.

Nous devons d'abord dire quelques mois sur les développements des fonctions considérés dans toute leur généralité, et nous prévenons expressément que nous ne donnons ce qui suit qu'à seul titre d'indication. Les propositions que nous allons énoncer sont loin d'être évidentes; nous y reviendrons plus tard; en attendant, on pourra considter la seconde Section de la Technie.

Wronski considère deux sortes de développements des fonctions. Le premier offre une généralité telle, que les séries proprement dites n'en forment plus qu'un cas particulier, comme on va le voir.

Ce premier développement est

\^ol) Y{x) =AoH-A,û,(a:) -t-A2iÎ2(a7)-hA3iî,(jr)H- ... ;

Vyx) est la fonction donnée, et iî, (^), i\{x)^ ... sont des fonctions généralement arbitraires. Pour effectuer leur détermination il faut avoir égard aux conditions du problème, mais celles-ci sont insuffisantes; il faut alors recourir à d'autres conditions qui dépendent du but en vue duquel la question est traitée.

Ao, A,, Aj, ... sont des coefficients qui dépendent des fonctions susdites. Il suit de là ime conséquence importante : une fonction comporte en général un nombre indéfini de formes différentes, autrement dit de développements différents.

Les relations qui existent entre les coefficients A© , A, , Aj, ... et les fonctions F, iî,, iîo, ... constituent ce que Wronski appelle la loi

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suprême; les déterminations des fonctions û,, fl^, ûj, ... les mieux appropriées a la nature de la question constituent la méthode suprême.

D'après le même géomètre, les développements en séries ne sont que des cas particuliers du développement précédent (a); si ^{oc) est la fonction à développer, en effectuant les opérations suivantes

ainsi de suite indéfiniment, on obtient le développement que Wronski appelle série générale :

(V) F(^)=Ao4-A,(p,(j?)-hA2f^(a:)yo(,T)-+-A,y,(.r)(p2(a;)93(a7)-4-....

Ao, A|, Aj, A3, ... sont des constantes, et(p,(^), Ç2(i»?), fsl^)» ••• des fonctions arbitraires de la variable x, qui néanmoins doivent satisfaire à la condition que les rapports

ne soient pas infinis pour les valeurs qui annulent les fonctions ç), [x)^

92(0?), Les fonctions ¥^{x)^ ^^[x)^ , . . déterminées par les fonc-

tionsF(a?) et <p, (a?), 92(^)1 • • • sont d'ailleurs éliminées. Si Ton s'arrête dans la série (7) après le terme A, ^, (;r) (f^i^) ©3(^), par exemple, la quantité complémentaire est

Y^[x)ff,{x)(f^[x)(f^[x),

et la parue essentielle de ce reste, F, (a?), est une fonction qui dépend nécessairement de Y{x) ; ainsi la considération de la fonction F3 [x) n'est d'aucune utilité au point de vue théorique, puisqu'en cherchant à l'évaluer on ne peut que retomber sur la question même.

I iG K. WEST.

I^s relations qui existent entre les coefficients A et les fonctions ¥ et y constituent la loi des séries; ainsi qu'on le verra plus tard, ces coefficients contiennent les différences ou les différentielles de tous les ordres des fonctions F et y; par suite, la série, étant supposée représenter la fonction F(j?), doit contenir les différences ou les différentielles de tous les ordres de la fonction proposée; c'est pour cette raison que Ton ne peut substituer à une série qui contient un nombre indéfini de termes un nombre fini de termes accompagnés d'une quantité complémentaire, autrement dit un polynôme algébrique suivi d'une autre fonction.

Par là même que les termes d'une série sont des fonctions déterminées des dérivées des fonctions F et y, on ne peut en principe changer l'ordre des termes de la série sans la modifier entièrement; il est évident que cette remarque s'étend aussi aux séries numériques.

Sous la forme donnée (y), les coefficients A©, A,, Aj, . . . deviennent indéterminés quand les fonctions y<, 92» ^a» •• deviennent idenliques; c'est pourquoi Wronski substitue à (7) la forme suivante, qui n'offre pas cet inconvénient :

Nous employons ici la notation ties facultés algorithmiques^ qui sont définies par la relation

<^Y } =?{oo,a,h )^(.r-^?,tf + «,^-^/5, ...)

Il ne reste plus qu'une fonction arbitraire y, que Wronski nomme mesure de la série, mais il entre dans cette fonction un nombre indéfini de paramètres arbitraires ri, A, . . ., ainsi que leurs accroissements x, jS, . . .

Maintenant considérons le cas particulier dans lequel les paramètres

Si Ton considère maintenant une série numérique, elle provient ou d'une série contenant une variable (ou plusieurs) à laquelle on donne une valeur particulière, ou bien elle est formée directement par une suite de nombres donnés par une certaine loi.

Dans ce dernier cas, si la série est divergente, c'est-à-dire si Ton ne peut faire la sommation des termes, il n'y a rien à en tirer sans une supposition particulière. Si l'on admet alors qu'une telle suite puisse provenir d'une série contenant une variable, il se présente la question de recherclier quelle est la fonction qu'elle peut représenter; il y a quelquefois utilité à le faire; on peut alors, d'après l'hypothèse, Kubstiluer à une série numérique une autre qui lui sera équivalente.

Il nous reste donc à examiner comment on peut passer d'une série à une autre équivalente. Soit donnée la série

Wronski trouve que dans la série par hypothèse équivalente

la fonction arbitraire (p{x) peut se ramener k quatre types différents, qu'il nomme se ftémns de convergence. Le plus usuel est de la forme