I . '2 . 3 . . . |x (ia
puis, en résolvant le système des équations (()",
La série de Taylor (i) pouvant en général représenter toute fonction, Wronski énonce encore la proposition suivante :
Toute fonction algorithmique F(.r) peut^ ai^ec une mesure généralement FINIE (^— a), être engendrée moyennant une série convergente.
Revenons aux séries formées par une suite de nombres arbitraires : soit
une pareille série; nous avons dit que nous supposions une série pro-
prement dite, dont la valeur générale corresponde à une fonction hypothétique F(^), par exemple la série formant le second membre de(c); il faut observer que la supposition ne saurait avoir lieu effectivement qu'autant qu'il existe une autre fonction (p{x) qui puisse donner réellement une suite A© -<- A, -f- Aj H-. . . correspondant à une série convergente telle que le second membre de (()'. Si cela n*a pas lieu, les quantités A seront ou infinies ou indéterminées, ou bien elles pourront donner lieu à des absurdités. D'où cette proposition :
Une série (X), formée arbitrairement (*j, na pas toujours une valeur générale F(^) correspondant à toutes les valeurs de la variable x.
Wronski donne un exemple d'une série telle que (X), dont les termes sont formés d'après une loi qui n'admet pas une série générale de la forme (9); cela suffit pour prouver la dernière proposition.
Premier exemple, — Pour bien faire comprendre ce que nous venons de dire, prenons un exemple connu, le développement du logarithme naturel de x^ ou
(fx) {x-\)-\{x- ,Y^\j^x- xY-....
Cette série n'est convergente qu'entre o et 2; mais, d'après ce que nous avons dit, elle représentera dans tous les cas la fonction L(a;), parce qu'aucune autre fonction ne peut donner le même développement. Quand cette série est divergente, elle ne peut être évidemment d'aucune utilité pour calculer un logarithme : c'est dans ce cas que les formules (e )" ou (x) permettent d'y substituer immédiatement une série convergente; on a, d'après (x). en comparant la série (fx) à la série (c) et faisant w = i,
Ao=o, A, := 2, A2 = o, A8 = 2^) A4 = o, A5=2->---,
ce qui donne pour la série (c/
C) Formée arbitrairement signifie : formée diaprés une loi arbitraire.
du développement de ( i ~ sa:)^.
fy\ ' ' 2 ' '-^ 8 ' 1.3.5 ^
Pour a: = I , la valeur de la fonction (r — so:)» est v/— i ; de plus, la série est divergente, elle devient
Comparons cette série à la série (c); en faisant a = o, les coefficients seront Si^y J3l,, Jjlj, ...; puis substituons-y la série («)'. Pour cela posons,
et, observant que
la nouvelle série sera
On trouverait pour les coefficients
admettons qu'elle provienne du développement de — —
pour la valeur x = i. En comparant cette série {g) à ((), on pourra, au moyen des formules (x), y substituer la série équivalente (()', dont les coefficients sont ici
Ao=i, A,=:— «, A2 = n^ — w, Aj r= — «' 4- iri^ — «, A4 = ;i* — 3«* 4- 3/i^ — w, . . .;
par suite on a la série transformée
(^)' I — n—^ hwf/î — 1)7—^^^ — 7i — n[n— 1? — ^ '
série évidemment convergente pour x= i, quelle que soit la valeur positive et finie de /i, et dont la valeur est - :
r^V -- '^ . njji^i) n(n— 1)' rt^nj-^
ou
OU enfin
Si « = I , la série ( (7 )' se réduit à
Faisons maintenant une seconde hypothèse sur Torigine de la série (p); on peut admettre qu'elle provienne du développement de
