DIGRESSION SUR LES SÉRIES

: > c^est-à-dire de la série

(t) I — x-]-x^— x* -^-œ^ — x^ -{- x^ — ip'"-i- —

Il est évident que pour a: = i la série s'identifie avec la série (p), tandis que la fonction dont la série (t) est le développement prend la valeur

^ différente de celle qui précède; de même, si Ton considérait ledéve-

loppement de r> c'est-à-dire

qui se réduit également à la série [p) quand x = i , on aurait encore une valeur différente ^^ quant aux formules de transformation^ elles donneraient respectivement, en faisant n = i ,

i^y ' - TT^ - (iT^y ^ (rl^y "^ (tt^)'~ (ttï)'~ (tt:?)''*

séries convergentes pour x = i; elles donnent, en effet,

l— -TZ — Tr.-f- n-^ T2 —

L'exemple des séries (a), (t) et (9), donnant pour a: = i la même suite (p) avec des valeurs différentes, est du à Poisson {Journal de r École Polytechnique, t. XII, p. 4^8). Wronski donne la transformation de la série (o*) en (a)' et celle de la série logarithmique qui conduit à la série bien connue (|jl)'. Il donne encore l'exemple suivant. La série

peut dériver de

(tj/) I 4- X — a:^ — a:' -H a** -+- X* — X* — x^ -h . . .

ou de

Ces deux séries proviennent respectivement du développement de

^"^^j et de celui de - — ^> expressions dont les valeurs sont l'unité

pour œ = ï. Les séries {^) et (w) donnent pour transformées, en faisant /i = f ,

1 l-i-J7 \H-J?/ ^\H-jr/

(-4(T^)'-»(Tf^)'--.

séries convergentes pour x = i; elles se réduisent en effet à Tunilé,

I I I I I II I I ^'^i""4""4~~8'^T6"^T6"^3Ï~64""64 '

Nous pensons que ces exemples très simples suffiront pour montrer la possibilité de substituer une série convergente à une série divergente, ou de transformer les séries, suivant l'expression de Wronski. Ces exemples montrent aussi comment on peut évaluer des séries numériques en les rapportant à une série générale hypothétique.

En terminant ce court exposé, nous ferons observer que les formules (x) que nous avons données, se rapportant aux deux séries (() et (c)', ne sont pas les plus générales que l'on puisse admettre; elles peuvent se trouver en défaut dans certains cas; il faut alors recourir à d'autres