DIGRESSION SUR LES SÉRIES. 1 2'J

formules ou même essayer les autres schémas de convergence, parmi lesquels, suivant Wronski, on en trouvera toujours un qui réponde à la question proposée.

Ajoutons encore que les deux quantités arbitraires a et n que renferme la série (e)' permettent d'augmenter dans certaines limites la convergence du développement de la fonction F{x); ainsi, en laissant à a la valeur i et en faisant /i = o, on obtient pour le logarithme de 2 un développement moins convergent que le développement (fi)', où /i = i . Il est bien entendu qu'il ne faut pas ici considérer le même nombre de termes, mais il faut prendre, dans chaque série, tous les termes qui

précèdent ceux d'une même puissance de "" > à laquelle on s'arrête.

Parmi tous les développements d'une même fonction, il en existe un qui possède le maximum de convergence ; ce développement peut même quelquefois être limité. Ainsi, au moyen de la série (c)', nous obtenons un nombre infini de développements de la fonction L (a?); mais, comme on le sait, on en trouverait encore d'autres; l'expression (a) permet d'obtenir tous ceux que l'on désire. Par exemple, si l'on compare («y et (a), on a

Les fonctions Q étant toutes arbitraires, nous pouvons admettre que la première quantité n qui entre dans la première fonction iî, soit différente des autres quantités, désignées aussi par /z, qui entrent dans les fonctions îîj, fî,, ...; nous distinguerons la première quantité /i par l'indice i. Cette quantité /i^, complètement arbitraire, peut être généralement une fonction de a?; en la déterminant par la condition que ili{x) représente le mieux possible la fonction F(a?), la série complémentaire aura relativement une valeur minima.

D'après cela, il faut satisfaire à la relation

ce qui donne

Ici les coefficients de la série complémentaire diffèrent de ceux de la