ros a
Kn intégrant par parties il vient, pour la projection sur f?^?, de la résultante cherchée,
ii'dsl ^'T^^ / cos' a ycos^^'^o- \ l cosa cosa aj: — / d )
2 \ J '' cosa /
RFXHERCHES SUR l'ÉLECTRODYNAMIQUE. 1 37
OU simplement
/ .. »., ds l cos^a jcosa'aj:
(i) —Il — t a )
^ ^ 2 ^/ /• COS a
puisque le courant est fermé.
Soient çj Tangle formé par aa' avec sa projection aa\ sur le plan œaz ;
vp Tangle a\ax. Les angles trièdres rectangles déterminés par az, aa\ aà^ et par aa\, aa\ ax donnent
cosa = cosç)sincj^, cosa'aa? == cosç cosij;,
et l'expression [i) se réduit à la suivante,
(3) ii'dsk\.,
en posant
Cette intégrale représente la somme des aires élémentaires du cône déterminé par le sommet a et par le courant fermé, projetées sur le plan zax el divisées par r'.
Si Ton porte à partir du point a, sur la perpendiculaire élevée en ce point à Taire élémentaire aa'h\ une longueur proportionnelle à cette aire divisée par le cube de la distance r, et si A' désigne la somme géométrique de toutes les longueurs semblables, A'^. ne sera autre chose que la projection de A' sur ay.
En désignant par A^ la projection de A' sur ax^ on trouve, de la même manière que ci-dessus, pour la composante de Taction cherchée suivant ay^
(3') ■ lYrfiA;,
On voit, d'après ce qui précède, que le problème proposé se ramène
Journ. de Math, (3« série), tome VII. — Avril i88i. lo
n. BRSA.L.
à déterminer A' en grandeur et en direction, en choisissant convenablement trois axes rectangulaires (qui différeront généralement des précédents), de manière à ramener les calculs à leur plus grande simplicité.
9. Action sur un élément de courant d'un courant circulaire dont le rayon est très petit par rapport à la distance du centre à l'élément considéré.
Le problème dont il s*agit se réduit, ainsi que nous venons de le dire, à déterminer les projections de A' sur trois axes rectangulaires passant par l'extrémité a de l'élément ds.
Nous prendrons le plan xaz parallèle à celui du courant circulaire, et nous ferons passer le planya^x? par le centre c de la circonférence. Il est évident que l'on a
Soient
c\ m' les projections sur le plan xaz de c et d'un point quelconque m de la circonférence ;
Fig. 5.
c'\ m" les projections de c et /n sur le plan yaz ;
n l'intersection de ce" avec la circonférence, et rî sa projection sur ax\
l4o H. RESAL.
Soient A[, la projection de A' sur une droite quelconque at^; 7, 5 les angles que forme celte droite avec ax et ay. Nous avons
A,, = A^cosyH- A!^cos(î^= ^ [cosJ — 3A(/cos7-f- Acosî)],
ou, en désignant par p la distance du centre c au plan mené en a normalement à ap,
formule dans laquelle il ne faut pas perdre de vue que ù est l'angle que forme av avec Taxe du courant circulaire.
10. Action d'un solénoïde sur un élément de courant. — Nous rappellerons qu'un solénoïde peut être considéré comme étant un système de courants circulaires identiques d'un très petit rayon, très peu espacés, normaux à une courbe directrice, quelle qu'elle soit d'ailleurs, et qui est le lieu de leurs centres
Soient [fig. 6).
X, 7, z les coordonnées d'un point u de la courbe direcirice rapportée
Fig. 6.
à trois axes retangulaires ayant a pour origine, l'axe az étant, comme
au n** 8, dirigé suivant t/é; da l'arc élémentaire de cette courbe ; ûT la perpendiculaire abaissée de l'origine a sur la tangente MT en M.
1^2 H. RESAL.
Posons
ante qui ne dépend que de la nature du solénoïde. multipliant par la valeur (p) les expressions (n) et (n'), nous ob- 'ons, pour les composantes de l'action exercée sur ds parles coucirculaires correspondant à e/(7,
l —Ik'id-- suivant ax,
/ ii'id^ suivant ay.
intégrant ces expressions entre les limites qui se rapportent aux i P', et F, rtous aurons, pour les composantes suivant ax et ay ction cherchée,
voit ainsi que cette action ne dépend que des positions relatives )les par rapport à ds, et non de la forme de la courbe directrice. !Ut même considérer chacun des pôles comme exerçant sur ds une i spéciale, soit par exemple, pour le pôle P',
ldY' = -[i'i^,ds.
S en considérant da, non comme une diirérenlielle, mais comme une longueur elite pour que Ton puisse en négliger les puissances supérieures à la preet assez grande cependant pour comprendre un certain nombre de couirculaires.
ment, d'ailleurs, pourrait-on comprendre qu'un parallélépipède élémenût renfermer une certaine quantité de matière nécessairement discon- >i Ton admettait que ses dimensions fussent nulles, au lieu de les consiomme très petites, quoique supérieures aux intervalles intermoléculaires.
r/|4 H. RESAL.
En transportant cette force parallèlement à elle-même en P', il en résultera un couple dont Taxe du moment [l'idd ne sera autre chose que l'élément si, limité par aP', bV\ de l'intersection de la sphère dont le centre est P' et le rayon u/i avec la surface du cône déterminé par le
Fig. 7.
courant fermé et par le sommet P'. Or, tous les axes tels que st des couples élémentaires déterminant une courbe fermée, Taxe du couple résultant est nul. Donc :
L'action d'un courant fermé sur l'un des pôles d'un solénoîde se réduit à une force passant par ce pôle.
L'action du courant n'est donc autre chose que la résultante des forces rfR appliquées en ce point.
L'expression ( i o') peut se mettre sous la forme suivante, en désignant
par rfa l'aire abc,
jr, , • airer?/>r . . ^a
aï{ = 2 0. I -t = llll i=rf
aV aV
Soient Vx, Vy, Vz' trois axes rectangulaires menés par le point P; rfa^, rfa^, rfa, les projections de l'aire e/a sur les plans zVy, xYz, vP'o:. La coihposante de rfR suivant Vœ sera
aV d'où, pour la composante semblable de l'action exercée par le courant,
RECHERCHES SUR L^ËLECTRODTM AMIQUE. l45
Portons sur la normale au plan iP'a, à partir de P', une longueur égale à — ^^ et soient A* la somme géométrique de toutes les droites
ainsi obtenues; A,, A^, A, les projections de cette résultante sur Vx, P'j, P'^ ; nous aurons évidemment
, et de même ^'^) W = .fx'/A,,
Z = Qf;/iA„
12. Action d'un solénoïde sur l'un des pôles d*un autre solénoide. — Soient
PP< le premier solénoïde ;
p le rayon des courants circulaires qui le constituent ;
g réquidistance de ces courants ;
P' le pôle, du second solénoïde P'P',, que nous avons à considérer.
Soient, de plus, c Tare de la courbe directrice de PP< mesuré à partir du point P jusqu'à un point M quelconque dont les coordonnées sont j?, y, z.
Il est clair, d'après la signification même de A, que A^ sera donné par la formule (m') du n^ 10, en y remplaçant p' parp et supposant w r= FM. Nous avons donc
Portons celte valeur dans la première des formules ( 1 1), multiplions-la ensuite par le nombre des courants — compris dans dct pour avoir la composante relative à cet élément, et posons
nous obtiendrons
(12) X = 2lLlL'd±
Jottrn, de Math. {Z"" série), tome VII. -> Mai i88i. ^9
l46 II. RESAL. — RECHERCHES SUR l'ÉLECTRODTNAMIQUE.
Soient
*^09 yof ^0 les coordonnées de P ; a7,,7,,5, celles de P^ ; a, = PP',w,z=P,P';
;(, yj, Ç les composantes de l'action totale exercée par PP, sur F, estimées suivant P'a?, P'y, P'z.
Nous aurons, en intégrant Téquation (12).
\ et de même
s==w(ji-i?>
Il résulte de là que P, P, exercent sur P' deux actions distinctes
^-^> -^> variant en raison inverse du carré de la distance, dirigées
respectivement suivant PP', P^ P', et que si la première, par exemple, est une attraction, l'autre sera une répulsion. Mais, P' exerçant par suite une attraction sur P, P'^ exercera sur ce pôle une répulsion et une attraction sur P|.
H y a donc, en résumé, quatre forces en jeu sur lesquelles il nous parait inutile d'insister ; qu'il nous suffise de rappeler que, en définitive, deux solénoïdes placés à une distance suffisamment grande l'un de l'autre par rapport à leurs diamètres se comportent entre eux comme deux aimants.
Tel est l'exposé succinct de la partie essentielle de la théorie d'Ampère. Nous avons omis à dessein les questions relatives aux actions mutuelles et au mouvement de deux courants rectilignes situés ou non dans un même plan, parallèles ou non, d'un courant circulaire sur son diamètre, etc., questions dont les solutions sont trop simples pour que nous ayons cru devoir nous en occuper.
